2019年高考数学三轮冲刺专题11数列求和及其综合应用专项讲解与训练.doc

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1、专题11　　数列求和及其综合应用裂项相消求和1．常见的裂项类型(1)＝－；(2)＝；(3)＝；(4)＝；(5)＝＝－.2．裂项相消法求和的基本思想是把数列的通项公式an拆分成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式，使之符合裂项相消的条件．(2019·福建质量检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝2，S5＝15，数列{bn}的前n项和Tn满足Tn＝(n＋5)an.(1)求an；(2)求数列{}的前n项和

2、．【解析】　(1)设等差数列{an}的公差为d.依题意，，即，解得a1＝d＝1.所以an＝n.(2)由(1)得，an＝n，所以Tn＝n(n＋5)．当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝n(n＋5)－(n－1)(n＋4)＝2n＋4，当n＝1时，b1＝T1＝6也满足上式，所以bn＝2n＋4(n∈N*)．所以＝＝＝(－)．设{}的前n项和为Pn，则当n≥2时，Pn＝＋＋…＋＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)]＝[(1＋＋＋…＋)－(＋＋…＋＋＋)]＝(1＋－－)＝－－.当n＝1时，P1＝＝，也满足上式．综上，Pn＝－

3、－.裂项相消法的技巧在裂项时要注意把数列的通项拆分成的两项一定是某个数列中的相邻的两项，或者是等距离间隔的两项，只有这样才能实现逐项相消，只剩余有限的几项，从而求出其和．　【对点训练】(2019·广西三市联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且6Sn＝3n＋1＋a(n∈N*)．(1)求a的值及数列{an}的通项公式；(2)由题意知：S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1.令cn＝，则cn＝.因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＋，又Tn＝＋＋＋

4、…＋＋，两式相减得Tn＝＋－，所以Tn＝5－.应用错位相减法求和需注意的问题(1)错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n＝1，2进行验证．　【对点训练】已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{an

5、}和{bn}的通项公式；(2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*)．(2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，由a2n＝6n－2，有Tn＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n，2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1，上述两式相减，得－Tn＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2)×2n＋1＝－4－(6n－2)×2n＋1＝－(3n－4)2n＋2－16.得Tn＝(3n－4)2n＋2＋16.(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求

6、数列{bn}的前2n项和．10．(2019·张掖模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝－3Sn＋4，bn＝－log2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式与数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝，其中n∈N*，记数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn＋的值．【解析】：(1)由题意知a1＝1，因为an＝－3Sn＋4，所以an＋1＝－3Sn＋1＋4.两式相减并化简得an＋1＝an，所以an＝()n－1.bn＝－log2an＋1＝－log2()n＝2n.(2)由(1)得，cn＝.Tn＝＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋

7、…＋＋，②①－②得，Tn＝＋＋＋…＋－＝1－.所以Tn＝2－.可得Tn＋＝2.[能力提升]1．(2018.湖南五市十校联考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＜0，若存在自然数m≥3，使得am＝Sm，则当n＞m时，Sn与an的大小关系是(　　)A．Sn＜anB．Sn≤anC．Sn＞anD．大小不能确定【答案】C【解析】若a1＜0，存在自然数m≥3，使得am＝Sm，则d＞0，若d＜0，数列是递减数列，则Sm＜am，不存在am＝Sm.由于a1＜0，d＞0，当m≥3时，有am＝Sm，因此am＞0，Sm＞0，又Sn

8、＝Sm＋am＋1＋…＋an，显然Sn＞an.故选C.2．在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.【解析】：(1)设等差数列{an}的公差是d.因为a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，所以d＝－3，所以a2＋a7＝2a1＋7d＝－23