二次函数与分段函数.doc

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1、第六讲：分段函数与二次函数第一部分：分段函数6．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是__________．答案　[－，0]∪(2，＋∞)1．(2014·山西四校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(3)的值为(　　)A．1B．2C．－2D．－32.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝(　　)A.3B.6C.9D.123．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．(－∞，8]4．(2014·上海卷)设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则

2、a的取值范围为(　　)A．[－1，2]B．[－1，0]C．[1，2]D．[0，2]5.(2015·福建卷)若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________.(1，2]6．(2014·浙江卷)设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．(－∞，]7.(2015·山东卷)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a取值范围是(　　)A.B.[0，1]C.D.[1，＋∞)8.【2015高考北京，理14】设函数①若，则的最小值为；16②若恰有2个零点，则实数的取值范围是．或.9．函数，则函数的零

3、点个数是..10．已知函数，其中.若对任意的非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立，则的取值范围为A．B．C．D．或11．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是________.(－∞，1]第二部分：二次函数1．是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．解　令f(x)＝0，则Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝9＋＞0恒成立，即f(x)＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a满

4、足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，∴a≤－或a≥1.检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1，所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1.(2)当f(3)＝0时，a＝－，此时f(x)＝x2－x－.令f(x)＝0，即x2－x－＝0，解得x＝－或x＝3.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a≠－.综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞)．2．已知f(x)＝x2＋(a2－1)

5、x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．则有f(1)＜0，(－2，1)7．设函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c(a>0，a，c∈R)．(1)设a>c>0.若f(x)>c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，求c的取值范围；(2)函数f(x)在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？解　(1)因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图象的对称轴为x＝，由条件a>c>0，6得2a>a＋c，故<＝<1，即二次函数f(x)的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛物线开口向上，故f(x)在[1，＋∞)内是增函数．若f(x)>c2

6、－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，则f(x)min＝f(1)>c2－2c＋a，即a－c>c2－2c＋a，得c2－c<0，所以00，f(1)＝a－c>0，则a>c>0.因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图象的对称轴是x＝.而f＝<0，所以函数f(x)在区间和内各有一个零点，故函数f(x)在区间(0,1)内有两个零点．3．若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．解　法一　(换元法)设t＝2

7、x(t>0)，则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根．令f(t)＝t2＋at＋a＋1.①若方程(*)有两个正实根t1，t2，则解得－10)，则a＝－＝－＝2－，其中t＋1>1，由基本不等式，得(t＋1)＋≥2，当且仅当t＝－1时取等号，故a≤