2019年高考数学一轮复习2.9函数的模型及其应用备选练习文新人教A版.doc

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1、2019年高考数学一轮复习2.9函数的模型及其应用备选练习文新人教A版1.(xx年石家庄模拟)如图，有一块边长为1(单位：百米)的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设∠PAB＝θ，tanθ＝t.(1)用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值；(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最大为多少？解析：(1)由tanθ＝＝t，得BP＝t(0≤t≤1)，可得CP＝1－t.∵∠DAQ＝45°－θ，∴DQ＝tan(45°－θ)＝，CQ＝1－＝，∴P

2、Q＝＝＝，∴△CPQ的周长l＝CP＋PQ＋CQ＝1－t＋＋＝2为定值．(2)∵S＝S正方形ABCD－S△ABP－S△ADQ＝1－－×＝2－(t＋1＋)≤2－，当且仅当t＋1＝，即t＝－1时等号成立．∴探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最大为(2－)平方百米．2．因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中，为了治污，根据环保部门的建议，现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a(1≤a≤4，且a∈R)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(天)变化的函数关系式近似为y＝a·f(x)，其

3、中f(x)＝，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用．(1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？(2)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值．(精确到0.1，参考数据：取1.4)．解析：(1)因为a＝4，所以y＝.则当0≤x≤4时，由－4≥4，解得x≥0，所以此时0≤x≤4；当4＜x≤10时，由20－2x≥4，解得x≤8，所以此时4＜x≤8.综上，可

4、得0≤x≤8，即一次投放4个单位的药剂，有效治污时间可达8天．(2)当6≤x≤10时，y＝2×＋a＝10－x＋－a＝(14－x)＋－a－4，因为14－x∈[4,8]，而1≤a≤4，所以4∈[4,8]，故当且仅当14－x＝4时，y有最小值为8－a－4.令8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4，所以a的最小值为24－16≈1.6.