不等式的应用.ppt

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1、不等式的应用知识回顾重要不等式：a,b∈R，a2+b2≥2ab，（当且仅当a=b时，“=”成立)a,b∈R+，a+b≥2，（当且仅当a=b时，“=”成立）a,b,c∈R+，，（当且仅当a=b=c时，“=”成立)利用均值不等式求函数的最值（1）a、b∈R+，当ab=Q为定值，∵a+b≥2=2，∴当a=b时，a+b有最小值2；（2）a、b∈R+，当a+b=P为定值，∵ab≤，∴当a=b时，ab有最大值。例1.求下列函数的最值:(1)y=x2+(x>0)(2)y=x(a-x)2(0-2).例2：下列命题中正确的是

2、．[　]A.函数最小值为2B．函数最小值为2；C．函数最小值为2+4D．函数（x>0最大值为2-4例3：求函数的最小值分析：如果用基本不等式≥4，但当且仅当即sin2x=2,”=”才成立，这不可能。所有利用函数的单调性求最值。解：∵f(x)=x+在[0，1]是单调递减，∴当sin2x=1时，y有最小值5。用均值不等式求最值时，应注意“一正、二定、三相等”一正：就是a、b∈R+。二定：当ab=Q为定值时，求a+b的最小值；当a+b=P为定值时，求ab最大值。三相等：只有在a=b条件下，ab和a+b才能取得最值，例4：若正数a、b

3、满足ab=a+b+3，则ab的取值范围？解法1：（看成求函数的值域）∵ab=a+b+3，∴b=ab=a==(a-1)++5≥9；例4：若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围？解法2：（看成求不等式的解集）∵a>0,b>0∴a+b≥2，又∵ab=a+b+3∴ab≥2+3，即（）2-2-3≥0，解得：≥3或≤-1（舍去）∴ab≥9。例5：建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，求水池的最低造价？例6：直线过点M（2，1），且分别与x轴、y轴的正半轴相交

4、于A、B两点，O是坐标原点，求△AOB的面积的最大值及此时直线的方程。例7：为了确保交通安全，交通部门规定，在交通事故易发生地段内的车距d正比于车速v(km/t)的平方与车身s(m)的积。且最小车距不得少于半个车身长。假定车身长均为s(m),且车速为50(km/t)时车距恰为车身长s，已知车流量Q=。问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此地段的车流量Q最大？例8：某商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t(天)的函数关系是：P=该商品的日销售量Q（件）与实践t(天)的函数关系是：Q=-t+40(0

5、这商品的日销售额的最大值。例9.轮船每小时使用燃料费用(单位：元)和轮船速度(单位：海里／时)的立方成正比．已知某轮船的最大船速是28海里／时，当速度是10海里／时时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用(不论速度如何)都是每小时480元，如果甲、乙两地相距1000海里，求轮船从甲地行驶到乙地，所需的总费用与船速的函数关系，并问船速为多少时，总费用最低？例10：为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体长度为a，高度为b，已知流出水中该杂质的质量分数与a,b的乘积成

6、反比，现有制箱材料60平方米，问当a,b各为多少时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？（A,B孔的面积忽略不计）。例11：某水库的最大容水量为128000立方米，现有水容量为80000立方米，在山洪暴发时，泄洪闸每天可泄水4000立方米。经预报，最近10天的山洪暴发时其注入水库的水量S（单位：立方米）与天数n的关系为S=5000。如果山洪暴发的第一天就打开泄洪闸，问在10天中堤坝有没有危险（当水库的水量超过最大容水量时堤坝就会发生危险。）？小结不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)

7、的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明，不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．