全国通用版2019版高考数学一轮复习鸭部分不等式选讲高考达标检测六十不等式证明理.doc

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1、高考达标检测（六十）不等式证明1．已知a，b都是正实数，且a＋b＝2，求证：＋≥1.证明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝2，∴＋－1＝＝＝＝＝＝.∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.∴≥0.∴＋≥1.2．已知定义在R上的函数f(x)＝

2、x＋1

3、＋

4、x－2

5、的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.解：(1)因为

6、x＋1

7、＋

8、x－2

9、≥

10、(x＋1)－(x－2)

11、＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)证

12、明：由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.3．(2018·云南统一检测)已知a是常数，对任意实数x，不等式

13、x＋1

14、－

15、2－x

16、≤a≤

17、x＋1

18、＋

19、2－x

20、都成立．(1)求a的值；(2)设m＞n＞0，求证：2m＋≥2n＋a.解：(1)设f(x)＝

21、x＋1

22、－

23、2－x

24、，则f(x)＝∴f(x)的最大值为3.∵对任意实数x，

25、x＋1

26、－

27、2－x

28、≤a都成立，即f(x)≤

29、a，∴a≥3.设h(x)＝

30、x＋1

31、＋

32、2－x

33、，则h(x)＝则h(x)的最小值为3.∵对任意实数x，

34、x＋1

35、＋

36、2－x

37、≥a都成立，即h(x)≥a，∴a≤3.∴a＝3.(2)证明：由(1)知a＝3.∵2m＋－2n＝(m－n)＋(m－n)＋，且m＞n＞0，∴(m－n)＋(m－n)＋≥3＝3.∴2m＋≥2n＋a.4．已知x，y，z是正实数，且满足x＋2y＋3z＝1.(1)求＋＋的最小值；(2)求证：x2＋y2＋z2≥.解：(1)∵x，y，z是正实数，且满足x＋2y＋3z＝1，∴＋＋＝(x＋2y＋3z

38、)＝6＋＋＋＋＋＋≥6＋2＋2＋2，当且仅当＝且＝且＝时取等号．(2)由柯西不等式可得1＝(x＋2y＋3z)2≤(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)＝14(x2＋y2＋z2)，∴x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时取等号．故x2＋y2＋z2≥.5．(2018·石家庄模拟)已知函数f(x)＝

39、x

40、＋

41、x－1

42、.(1)若f(x)≥

43、m－1

44、恒成立，求实数m的最大值M；(2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2＋b2＝M，证明：a＋b≥2ab.解：(1)由绝对值不等式的性质知

45、f(x)＝

46、x

47、＋

48、x－1

49、≥

50、x－x＋1

51、＝1，∴f(x)min＝1，∴只需

52、m－1

53、≤1，即－1≤m－1≤1，∴0≤m≤2，∴实数m的最大值M＝2.(2)证明：∵a2＋b2≥2ab，且a2＋b2＝2，∴ab≤1，∴≤1，当且仅当a＝b时取等号．①又≤，∴≤，∴≤，当且仅当a＝b时取等号．②由①②得，≤，∴a＋b≥2ab.6．(2018·吉林实验中学模拟)设函数f(x)＝

54、x－a

55、.(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥4－

56、x－1

57、；(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m>0，n>0)

58、，求证：m＋2n≥4.解：(1)当a＝2时，不等式为

59、x－2

60、＋

61、x－1

62、≥4.①当x≥2时，不等式可化为x－2＋x－1≥4，解得x≥；②当1＜x＜2时，不等式可化为2－x＋x－1≥4，不等式的解集为∅；③当x≤1时，不等式可化为2－x＋1－x≥4，解得x≤－.综上可得，不等式的解集为∪.(2)证明：∵f(x)≤1，即

63、x－a

64、≤1，解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0,2]，∴解得a＝1，所以＋＝1(m>0，n>0)，所以m＋2n＝(m＋2n)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当m＝2，n

65、＝1时取等号．7．已知a，b，c，d均为正数，且ad＝bc.(1)证明：若a＋d>b＋c，则

66、a－d

67、>

68、b－c

69、；(2)若t··＝＋，求实数t的取值范围．解：(1)证明：由a＋d>b＋c，且a，b，c，d均为正数，得(a＋d)2>(b＋c)2，又ad＝bc，所以(a－d)2>(b－c)2，即

70、a－d

71、>

72、b－c

73、.(2)因为(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2，所以t··＝t(ac＋bd)．由于≥ac,≥bd，又已知

74、t··＝＋，则t(ac＋bd)≥(ac＋bd)，故t≥，当且仅当a＝c，b＝d时取等号．所以实数t的取值范围为[，＋∞)．8．已知函数f(x)＝

75、x－1

76、.(1)解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；(2)若

77、a

78、<1，

79、b

80、<1，a≠0，求证：>f.解：(1)f(2x)＋f(x＋4)＝

81、2x－1

82、＋

83、x＋3

84、＝当x<－3时，由－3x－2≥8，解得x≤－；当－3≤x<时，－x＋4≥8无解；当x≥时，由3x＋2≥8，解得x≥2.所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解