资源描述：
《《3.1.2两角和与差的正弦、余弦函数》 课件(北师大版必修4).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、新课标北师大版课件系列《高中数学》必修4两角和与差的正弦、余弦函数在研究三角函数时，我们还常常遇到这样的问题：已知任意角α、β的三角函数值，如何求α+β、α–β或2α的三角函数值？下面我们先引出平面内两点间的距离公式，并从两角和的余弦公式谈起.在坐标平面内的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),xyO..P1(x1,y1)P2(x2,y2)M1(x1,0)M2(x2,0)N1(0,y1)N2(0,y2)QP1Q=M1M2=┃x1–x2┃，QP2=N1N2=┃y1–y2┃，由勾股定理，可得P1P22=P1Q2+QP22=
2、(x1–x2)2+(y1–y2)2,=┃x1–x2┃2+┃y1–y2┃2由此得到平面内P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间距离公式：P1P2=∟∟∟∟∟接下来，我们继续考虑如何运用两点间的距离公式，把两角和的余弦cos(α+β)用α、β的三角函数来表示的问题.xyO如图，在直角坐标平面xOy内作单位圆O,并作出角α、β和–β，αP1P2P3P4β–βα+βP1(1,0),各点坐标：P2(cosα,sinα),P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(–β),sin(–β)),xyOαP1P2P3P4β–β
3、α+βP1(1,0),各点坐标：P2(cosα,sinα),P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(–β),sin(–β)),由P1P3＝P2P4及两点间距离公式，得[cos(α+β)–1]2+sin2(α+β)=[cos(–β)–cosα]2+[sin(–β)–sinα]2,[cos(α+β)–1]2+sin2(α+β)=[cos(–β)–cosα]2+[sin(–β)–sinα]2,cos2(α+β)–2cos(α+β)+1+sin2(α+β)=cos2β–2cosαcosβ+cos2α+sin2α+2si
4、nαsinβ+sin2β，2–2cos(α+β)=2–2cosαcosβ+2sinαsinβ，∴cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ，（C（α+β））cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ（C（α+β））这个公式对于任意角α、β都成立.例如cos(62°＝cos62°–cos59°+59°)sin62°sin59°;cos(113°＝cos113°–cos27°+27°)sin113°sin27°;cos[α＝cosα–cos(–β)+(–β)]sinαsin(–β)，cos(α+β)=cosαco
5、sβ–sinαsinβ.（C（α+β））cos[α＝cosα–cos(–β)+(–β)]sinαsin(–β)，cosβcos(α＝cosα+–β)sinαsinβ.（C（α–β））例如cos(113°＝cos113°+cos27°–27°)sin113°sin27°;cos(113°＝cos113°+cos27°+27°)sin113°sin27°;cosβcos(α＝cosα+–β)sinαsinβ.（C（α–β））+cosα–α)sinαcos(π2＝cosπ2sinπ2=sinα，即–α)cos(π2=sinα，π2这里
6、，等号两边的角的和为 ，αcosπ2=sin(–α)，∴即–α)cos(π2=sinα，π2这里，等号两边的角的和为 ，αcosπ2=sin(–α)，∴这就是说，诱导公式–α)cos(π2=sinα，cosα,π2sin(–α)＝当α为任意角时仍然成立.–α)cos(π2=sinα，cosα,π2sin(–α)＝cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ.运用上述公式，得sin(α+β)=cos[–(α+β)]π2=cos[(–α)–β]π2=cos(–α)cosβπ2+sin(–α)sinβπ2=sinαcosβ+c
7、osαsinβ,即sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,（S（α+β））在上式中用–β代替β，得sin(α–β)=sinαcosβ–cosαsinβ,（S（α–β））当cos(α+β)≠0时，有tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ–sinαsinβ,若cosαcosβ≠0，得tan(α+β)=tanα+tanβ1–tanαtanβ.（T（α+β））tan(α+β)=tanα+tanβ1–tanαt
8、anβ.∵tan(–β)==–tanβ，sin(–β)cos(–β)–sinβcosβtan(α–β)=tanα–tanβ1+tanαtanβ.∴（T（α–β））公式S（α+β）、C（α+β）、T（α+β）给出了任意角α、β的三角函数值(这里指正弦、余弦或正切)
