单变量最优化.ppt

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1、数学建模案例之单变量最优化生猪的最佳销售时间2010.9问题一头猪重200磅（1磅=0.454kg）,每天增重5磅，饲养每天需花费45美分。猪的市场价格为每磅65美分，但每天下降1美分。问题：求出售猪的最佳时间。清晰问题：需要回答，获得最大收益时的出售时间及其收益。1.问题分析与假设、符号说明涉及的变量：1.猪的重量w(磅)，2.饲养时间t≥0(天),3.t天内饲养猪的花费C(美元)，4.猪的市场价格p(美元/磅)，5.售出生猪所获得的总收益R(美元)，6.我们最终获得的净收益P(美元).1.问题分析与假设、符号说明涉及的常量：1.猪的初始重量200(磅)

2、，2.饲养每天的花费0.45(美元)，3.生猪增加重量s(=5磅/天)，4.当前的市场价格0.65(美元)，5.生猪的价格下降速率r(=0.01美元/磅.天)。1.问题分析与假设、符号说明变量之间的关系：假设1：猪的重量从初始的200(磅)按每天s(=5磅)增加，于是有关系：w(磅)=200(磅)+s(磅/天)×t(天)假设2：当前的市场价格0.65(美元/磅),生猪的价格下降速率r(=0.01美元/磅.天),那么在t天时出售时生猪的价格为：p(美元/磅)=0.65(美元/磅)-r（美元/磅.天)×t(天)1.问题分析与假设、符号说明因此，我们有如下关系式：

3、饲养生猪的总的费用为：C(美元)=0.45(美元/天)×t(天)售出生猪时获得的总收益为：R(美元)=p(美元/磅)×w(磅)最终获得的净收益为：P(美元)=R(美元)-C(美元)小技巧：分析中列出变量的单位有助于检查所列等式是否有意义。当生猪卖出获得最大收益的时间即为最佳出售时间，因此原问题转化成数学表达就是求P达到最大时的时间t≥0，其中P的表达式为：P(t)=R(t)-C(t)=p×w-0.45t=(0.65-rt)(200+st)-0.45t2.建立数学模型由上述分析与基本假设，原问题的数学模型如下：(2.1)其中，r,s为模型参数，此处取值为s=5

4、,r=0.01.3.模型求解当s=5,r=0.01时，这是一个单变量t的函数的最优化问题，而且P(t)是一个连续可微的函数。可以利用微积分知识求解，其求解过程如下：(1)求驻点：P’(t)=-2rst-200r+0.65s-0.45驻点为：t*=(-0.45+0.65s-200r)/2rs(3.1)代入常量参数得到：t*=8(天)，P(8)=133.20(美元)。3.模型求解(2)判断是否为极值点：函数P(t)在区间(0,8)是单调上升的，而在区间(8,+∞)是单调下降的，因此,P(t)在点t*=8达到全局最大值：133.20,图1为P(t)的图形。（图1净

5、收益P(t)关于时间t的曲线）至此，我们可以回答原来的问题答案，在8天后出售，可以获得最大净收益133.20美元。4.灵敏性分析在实际问题中，我们不会有绝对准确的信息，即使能够建立一个完美的精确的模型，我们也可能采用较简单和易于处理的近似方法，因此我们必须考察数学模型的稳键性：即使数学模型不完全正确，由其导出的结果仍然正确。在建模过程中我们提出了两种类型的假设：（1）数据假设（2）其它假设由于我们很少能够保证这些假设都是完全正确的，因此我们需要考虑所得结果对每一条假设的敏感程度，它是数学建模过程中的一个重要方面，具体问题与所建立的模型以及求解方法有关。4.灵

6、敏性分析：数据是由测量、观察甚至猜测得到，因此需要考虑数据的不准确的可能性。有些数据的具有相当大的确定性，如生猪当前的重量，生猪现在的价格，每天饲养花费；有些数据的确定性却很低，如猪的生长速率s，价格的下降速率r。在前面，我们假设s=5(磅/天)，r=0.01(美元/天)。1）考虑s不变,r发生变化时,最佳出售时机关于价格下降速率的灵敏性先对r取几个不同的值做实际计算，观察其变化规律，计算结果见表1。观察表1可以得到,随着r增加,t*减小。更详细的分析是考察(3.1)式,我们将s=5(磅/天)代入(3.1)中，可得:t*=(2.80-200r)/10r(4.

7、1)只要t*≥0,即0

8、的形式更加使用。例如:r的10%的下降导致了t的39