1-01 单变量最优化.ppt

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1、第1章单变量最优化1.3、稳定性与稳健性1.2、灵敏度分析1.5、习题1.4、小结与思考题Interrogateofpositivetermseries数学1.1、五步方法化最优数学建模讲座循序渐进追求卓绝安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics1959建模※2021/8/4※Ch1单变量最优化1.1、五步方法1、五步方法概要2、五步方法详解1.2、灵敏性分析1、问题的提出2、最佳售猪时间x关于价格下降速率r的灵敏性3、最佳售猪时间x关于生长率g的灵敏性4、灵敏性的相对改变量1.3、稳定性与稳健性1、关于稳键性2、

2、r,g不是常数时对模型结果的影响1.4、小结1.5、练习题※2021/8/4※1、五步方法概要数学模型解决问题的一般过程分五步，称之为五步方法。⑴定义：⑵五个步骤：⑴提出问题(问题)；⑵选择建模方法(方法)；⑶推导模型的数学表达式；⑷求解模型；⑸回答问题。1.1、五步方法※2021/8/4※2、五步方法详解例1.1、一头猪重200磅，每天增重5磅，饲养每天需花费45美分。猪的市场价格为每磅65美分，但每天下降1%，求出售猪的最佳时间。（1磅=0.454kg）⑴提出问题:即如何用数学语言来表达问题。①列出问题涉及的变量，包括恰当的单位；②写出关于上述变量所

3、做的假设，列出已知的或假设的这些变量之间的关系式(等式和不等式)；③用明确的数学语言写出问题的目标的表达式。变量、单位、等式、不等式、假设和目标表达式等构成完整的问题。1.1、五步方法※2021/8/4※①例1.1中，全部的变量包括：猪的重量w(磅)，从现在到出售猪期间经历的时间t(天),t天饲养猪的花费C(美元),猪的市场价格p(美元/磅),售出生猪所获得的收益R(美元),我们最终获得的净收益P(美元)。其他相关的参(非变)量:如猪的初始重量(200磅)等。②写出关于上述变量所做的假设，考虑到参量在模型中的影响。猪的重量从初始的200磅按每天5磅增加有

4、这里把变量的单位带进去,可以检查所列式子的意义.该问题涉及到的其他假设包括:1.1、五步方法※2021/8/4※售价饲养成本收益利润假设t≥0③目标：求利润或净收益P的最大值。为了便于参考，下面对第一步所得的结果进行了如下的归纳（见下表）1.1、五步方法※2021/8/4※1.1、五步方法变量：t=时间(天)w=猪的重量(磅)p=猪的价格(美元/磅)C=饲养t天的花费(美元)R=售出猪的收益(美元)P=净收益(美元)假设：w=200+5tp=0.65-0.01tC=0.45tR=p·wP=R-Ct≥0目标：求Ｐ的最大值★注意：第一部分三个阶段(变量、假设

5、、目标)的确定不需要按特定的顺序。图1-1售猪问题的第一步的结果本例先定义目标P和列出P=R-C,得出变量R、C再写出假设中的各个表达式,最后写出各表达式中变量及其单位。※2021/8/4※⑵选择建模方法：即如何用数学方法来获得解。①许多问题都可表成一个已有有效方法的标准形式.②应用数学的多数研究，包含确定问题的一般类别，并提出解决该类问题的有效方法。③在应用数学领域中有许多的文献，并且不断取得许多新的进展。一般很少有学生对选择较好的建模方法有经验或熟悉参考文献。注意：下面除了极少例外，一般都给定所用的建模方法。如例1.1可定位为单变量优化问题，或极大—

6、极小化问题,建模方法为：设y=f(x)在x∈S处是可微的，若f(x)在x处达到极大或极小,则f'(x)=0。详细可参阅微积分中导数应用部分的内容.1.1、五步方法※2021/8/4※⑶推导模型公式:即要把第一步得到的问题应用于第二步，写成所选建模方法需要的标准形式，以于我们运用标准的算法过程求解。如：例1.1把问题中的变量名改换一下，在算法上就比较方便。P=R-C=p·w-0.45t=(0.65-0.01t)(200+5t)-0.45t记y=P作为求最大值的目标变量，x=t作为自变量，我们的问题就化为在集合S={x:x≥0}上求下面函数的最大值：y=f(

7、x)=(0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x.这是我们最熟悉不过的求一元函数极值问题。1.1、五步方法※2021/8/4※⑷利用第二步中确定的标准过程求解这个模型。如本例中即对y=f(x)=(0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x在区间x≥0上求最大值。如图可知y=f(x)关于x是二次的曲线图，易得f'(x)=-0.1x+0.8则在点x=8处f'(x)=0.由f在区间(-∞,8)上单升,而在区间(8,+∞)上单减.故点x=8是整体最大值点.且有f(8)=133.20,从而点(x,y)=(8,133.20)是f在整个实轴上的整体最

8、大值点,也是区间x≥0上的最大值点。图1-2售猪问题的净收益f(x)关于时间x的