科学与工程计算基础 第一章.ppt

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1、第一章绪论《科学与工程计算基础》§1-1课程的内容意义与特点一、课程的内容用计算机来求解数学问题的数值方法和理论。它包括：线性方程组、函数的插值、离散数据的拟合、微积分的计算、求解微分方程等问题。二、课程的意义可以用来解决一些无法用解析法求解的问题；和求解一些复杂问题。特点：计算方法研究三、课程的特点关于算法的评价：误差的大小、计算的复杂程度例1、用梯形法计算的近似值。其方法误差记有其舍入误差故其计算误差1、误差误差分为方法误差和舍入误差。的舍入误差的累积则可能导致计算结果时，运算次数（运算量）大，虽然很小但在求解大型方程组的严重失真。即为数值解的稳定性问题。计算成本（代价）问题也

2、称时空复杂性问题，它包括占用中央处理器（CPU）的时间和空间。2、复杂程度的值可采用例2、计算秦九韶算法（Homer算法）：运算量减少为(2n-1次算术运算)和存储量减少为(n+2).例3、采取顺序消元法化为中时的运算数量级为，存储量为时的运算数量级为，存储量为当n很大时，这一方法极大地节省时间和空间。一、误差和有效数字是实数的精确值，§1-2误差的基本概念定义2.1是其近似值，则称为近似值的（绝对）误差。且当时，称为近似值的相对误差（一般地，为未知量）。是精确值定义2.2的一个近似值，若有则称为的（绝对）误差界。时，称为的相对误差界。（通常当是未知的）例1、，若有则有则有则有可见

3、，经四舍五入取近似值,其绝对误差限将不超过其末位数字的半个单位。例2、，若有并令且是则有的具有三位有效数字的近似值。例3、，若有有4位有效数字；有6位有效数字；有8位有效数字；只有4位有效数字。是精确值定义2.3的一个近似值，若有其中为0到9之间的整数，且的误差满足则称是若的至少具有n位有效数字的近似值。（有效数字相当于相对误差的百分数的位数）设定理2.1的某个近似值，即若至少有n位有效数字，则的相对误差满足是反之，若的相对误差满足则至少有n位有效数字。函数求值的误差估计二、设是的一个近似值，在的邻域内连续可微，则则近似函数值的误差界和相对误差界估计为其中为的误差界。先考察一维的情

4、形设在点的某邻域内连续可微，则有展开式则近似函数值的误差界和相对误差界的其中为的误差界，估计式为为的误差界。推广到二维的情形则有例4、设有长为，宽为的某场地。现测得并已知它们的误差界分别为的近似值试估计面积的误差界和相对误差界。的近似值解由于而故进而三、计算机中数的表示和舍入误差规格化形式（浮点形式）：称为机器数。其中称为阶码小数称为尾数，其中是机器数的二进制字长。一、算法的稳定性解由§1-3数值稳定性和病态问题例1、可得两个算法：其算法一其算法二其初始值其初始值计算其近似值如下表n00.18230.18230.18232210.088500.088390.088392220.05

5、7500.058040.058038930.045830.043140.043138740.020850.034310.034306350.095750.028470.02846846-0.31210.024330.024324971.7030.021230.02123268-8.3920.018840.0188369由此可见算法二是稳定的。对于某个算法，若输入数据的误差在计算定义3.1过程中迅速增长而得不到控制，则称该算法是数值不稳定的，否则称其是数值稳定的。求方程例1、的根。其中解考虑下列两种不同算法算法一算法二其中sign(b)表示取数b的符号。对于算法一，若则是不稳定的，否

6、则对于算法二，则在任何情况下都是(无条件)稳定的。是稳定的。因为其分子有一个相近数相减，会大量损失有效数字，造成误差很大。（条件稳定）例如，对于方程算法一可得算法二可得而精确解为：此时算法一不稳定，其舍入误差对后续迭代计算影响很大。病态数学问题和条件数二、病态数学问题：当某个数学问题的输入数据（如参数、初始条件等）有微小变化（摄动）时，会引起解的大扰动；相反，则称其为良态数学问题。病态和良态是相对的。一般说来，病态越严重，对算法的稳定性的影响就越大。我们通常用条件数来衡量病态数学问题的病态程度例2、函数求值问题的条件数可定义为这是因为，若输入数据的近似值为其相对误差函数值的近似值为

7、，其相对误差为掌握数值计算方法，其目的是为了解决各种§1-4算法的实现数学问题。故必须在计算机上实现算法。使用软件工具和自编程序是两个根本的办法。Lapack、YSMP等及Fortran、C、Matlab等