关于牛顿世界观万有引力作用等效于质点的证明.pdf

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1、万有引力作用质点等效证明关于牛顿世界观万有引力作用等效于质点的证明武汉二中王尤睿高中学习里我们已经知道在处理行星间万有引力的力学问题时，各个行星可看作质点（其重心），以便于计算，高中人教版教材必修2中已明确指出实心球间万有引力作用可等效于其球心（质点）进行处理，下面给出详细证明：证明：1.建立圆环与质点模型（微元思想）假设有一圆环（厚度不计,质量均匀）半径为r，圆环质量为m，现有一质点A与圆环圆心连线垂直于圆环所在平面质量为M，与圆心距离为R，如图，现将圆环分成n份，每份长度为dx，质量为dm，则有：ndx2rndmm当n时，每份都可看作为质点，则对每份质点，有：Md

2、mRFG，竖直方向上分离为FFR2r222Rr则对整个圆环，圆环收质点A在竖直方向上的合力为2-FnFGMmR（R2r2）3合由对称性可得圆环在水平方向收的力为0所以，FF合合2.建立圆片与质点模型（积分）假设有一圆片（厚度不记,质量均匀）半径为r，原片质量为m，现有一质点A与元片圆心连线垂直于圆片所在平面质量为M，与圆心距离为R，如图，现选取圆片内某一圆环，半径设为x，半径为dx（0）此圆环面积为：2SS-S（2xdxdx）2xdxxdxx此圆环收到质点A引力为：22xdx22-FGMmRRx3引2r于是，对圆环面

3、积求定积分r22xdx22-FGMmRRx3合2r0R112GMm（-）r222RRr即圆片受质点A引力大小3.建立实心球与质点模型（积分）假设有一实心球体（质量均匀）半径为r，质量为m，现有一质点A与球体球心相距R，以球心与质点连线为横轴建立直角坐标系，质点A质量为M，如图Page1武汉二中王尤睿万有引力作用质点等效证明现选取球体上某一圆片，圆片圆心与球心距离x，再选取一圆片圆心距离球心x+dx（dx0）那么由这两个圆片组成的圆台可看作圆柱，有2222圆柱地面半径rr-x，圆柱高h=dx,圆柱体积V（r-x）dx0柱VRx11此圆柱所受质点A引力大小

4、为F2GMm（-）Vr2-x2-x222球R（R-x）r-x于是对球体所受A引力求定积分，r22（r-x）Rx11F2GMm（-）dx合4r2-x2-x222r-r3R（R-x）r-x3MmG2r此时，球体所受合力与等质量其球心所受质点A引力大小相同所以，实心球间万有引力作用可等效于其球心（质点）证毕Page2武汉二中王尤睿