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1、中学数学教学参考2001年第5期25思想·方法·技巧数学证明的作用陕西师范大学罗增儒本文通过解题分析来说明数学证明的作强化题型作用.日后遇到类似问题,可以通过用,反过来,又通过数学证明作用的提炼过程辨认,提取出同样的方法来解决(模式识别).来说明解题分析的作用.首先看一组例题.比如遇到1993年高考第(16)题,也许能顺利一、解题案例完成:abxy11例4设a,b,c都是正数,且3=4=例1已知2=5=10,求证+=1.xyc6,那么1x证明:由2=10]10x=2,111221A.=+B.=+y1cabcab5=10]10y=5.122
2、21211C.=+D.=+相乘10x·10y=2·5,cabcabc11解:由3a=6c]3=6a,+即10xy=10.cbc114=6]2=62b.得+=1.xycc相乘6a·62b=3·2,xy21例2已知3=4=36,求证+=1.ccxy+即6a2b=6.2x证明:由3=36]36x=9,cc同底比较,得+=1,1a2by4=36]36y=4.22121即=+,应选B.相乘36x·36y=9·4,cab21应该说,能完成这道高考题已经从例1、例+即36xy=36.2、例3中获得了某些理解,否则,就不会将21bc同底比较,得+=1.4
3、=6,xycxy例3已知17=117=100,求证变为2=62b.111但是,这些理解还比较朦胧.可能另一些学生,-=.xy2做过例1、例2、例3后仍不会做高考题.因为1x证明:由17=100]100x=17,他们没有从所做的例题中分析出本质性的方y-110法.我们以例1为例来作解题分析.117=100]100y=.1711解题中进行了哪些步骤?为什么要进1-110相乘100x·100y=17·,行这样的步骤?171-11对比题目的条件与结论,我们看到3个差即100xy=10=1002.异:111同底比较,得x-y=2.(1)条件是指数形
4、式,结论是分式形式;二、解题分析(3)条件有两个等式,结论是一个等式;这可以称为题组训练(或一题多解),具有(3)条件有数字2、5、10,结论都隐去了.26中学数学教学参考2001年第5期解题的过程是保留相同成分(等式,字母(1)底数推广x、y),消除差异的过程,可以分解为3个步骤.在例1中,将数字2一般化为字母a,将数11字5一般化为字母b,那么数字10应一般化为第1步:由结论式中有、知,应对条件xyab,得式作变形,因而进行第一步运算:xy命题1设a>0,b>0,若a=b=ab≠12x=10,10x=2,11]1,则+=1.y1xy5
5、=1010y=5.(2)指数推广11这就出现了、,具有消除差异(1)的作在同底比较中,ab并非只能取指数为1,xyz用.也可以为(ab),因而得xy11命题2设a>0,b>0,若a=b=第2步:由结论式有+知,应对两式xyz111(ab)≠1,则+=.相乘,因而进行第二步运算:xyz11xy10x·10y=2·5,在命题1中将x看成,将y看成,应mn11m+即10xy=10.不影响同底比较,这实质上是把a看成a,把n这就将已知条件的两个等式合并了起来,b看成b,此时应有11xymn并出现+,具有消除差异(2)的作用.am=bn=ab]+=
6、1.xyxy第m3步:同底比较,得为了使表达式好看一点,我们把a看成一11个字母A,则a变为Am,于是得+=1.xyxymn命题3设a>0,b>0,若a=b=ab这就隐去了数字2、5、10,并得出结论.mn在这三步当中,最本质的是同底比较.回≠1,则x+y=1.2这时命题3自动包含了命题2.x过头来看例2中把3=36,变为36x=9,正31个数推广是为了使9×4=36,保证同底;例3中把10变1由于例1证明中第一、二步均与等式的个bc为1002也是为了保证同底;例4中把4=6数无关,我们立即可以把上述各命题从两个字c变为2=62b还是为了
7、保证同底.有了同底等式母推广到多个字母.11xx10x+y=10,命题4设ai>0,若a11=a22=⋯=xmmm11ann=a11a22⋯ann≠1,则可得+=1.xym1m2mn而即使改变数据x++⋯+=1.1x2xnmn+αxmmm10xy=10,证明:由已知aii=a11a22⋯ann,得m也可得出mmmmiaii=(a11a22⋯ann)xi.mn+=α.相乘a1m1a2m2⋯anmnxymm1n并且,只要保持底数相同,其具体数据到mmm+⋯+=(a11a22⋯ann)x1xn.底是2与5、9与4都是非实质的,由此,我们m1m2
8、mn同底比较,得++⋯+=1.立即可以作出推广.x1x2xn21能进行哪些推广?为什么能进行这样这恰好是我们对具体例子中分析出来的的推广?三个步骤.中学数学教学参考2001年第5期27三、由解
