第三节 晶格的周期性.ppt

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1、第三节晶格的周期性本节的重点1.晶格的周期性表示；2.几种典型的晶体结构；3.简单晶格和复式晶格4.致密度和配位数；所由于晶格可以看作一个平行六面体在三维空间重复堆砌而成，因此所有晶格的共同特点是具有周期性。通常用原胞、晶胞和基矢来描述晶格的周期性。第三节晶格的周期性XZY1.原胞某一方向两相邻阵点的距离称为该方向上的周期。以一个格点为顶点，以三个不同方向的周期为边长的平行六面体可以作为晶格的一个重复单元，该单元仅在平行六面体的八个顶角上存在阵点，是晶格中体积最小的重复单元，称为原胞或初级晶胞。O

2、原胞的选取原则：原胞的选取不是唯一的（如图），原则上只要是最小周期性单元都可以，也就是说仅在平行六面体的八个顶角上存在阵点，但原胞的体积都相等，且原胞仅反映晶格的周期性，不能反映晶体的对称性。为了反映晶体的对称性，需要引入晶胞的概念。2.晶胞众所周知，晶体具有宏观对称性。为了反映晶体的对称性，结晶学上所选取的重复单元，体积不一定最小，阵点不仅在顶角上，还可以是体心或面心或对角线上。这种重复单元称为晶胞。注意：在晶胞内部存在阵点，且晶胞的体积是原胞体积的整数倍。晶胞的选取原则：要使选出的晶胞同时反映

3、出点阵的周期性和对称性，不仅在平行六面体的八个顶角上有阵点，在其他位置也有阵电存在。在选取的平行六面体中，三个不同方向的边长矢量称为基矢。以a1、a2、a3表示原胞的基矢，a、b、c表示晶胞的基矢。三个基矢的长度和三个基矢之间的夹角α、β、γ是描述这个点阵的基本参数。三个基矢的长度统称为点阵常数。XYZαγβa1a2a33.基矢点阵常数如图以原胞为例。以i，j，k表示基矢的单位矢量，则有a1=a1i，a2=a2j，a3=a3k，a=ai，b=bj，c=ck。4.威格纳-塞兹原胞（WS原胞）从一选定

4、的格点到它的所有最近邻及次近邻格点连线的垂直平分面所围成的多面体称为威格纳-塞兹原胞。WS原胞保持原晶体所具有的一切对称性，并且仅含有一个格点，因此它具有和原胞一样的体积。二维六方格子的WS原胞体心立方格子的WS原胞5.晶格的周期性数学表达以任一阵点为原点，在三个基矢方向上作平移，就得到整个点阵。晶格的周期性还可以利用数学的语言来表达。晶格中任一阵点的位置可以用基矢表达如下：式中为由原点到某一阵点的矢量，l1、l2、l3分别表示沿三个基矢方向平移的基矢数，为一组整数。设r为晶格中任一处的位矢，V(

5、r)表示位矢r处的某一物理量，比如静电势能、电子云密度等，则晶格的周期性通过下面的表达式可以反映：Or上式表示一个重复单元中任一r处的物理性质同另一个重复单元相应处的物理性质相同。设晶胞的体积为V，晶胞的三个基矢分别为a、b、c，则晶胞的体积表示如下：V=a·（b×c）6.晶胞的体积同理原胞的体积为：V=a1·（a2×a3）7.一些常见的晶体结构（1）简单立方结构在一个平面内，原子球呈现正方排列(a)，而在空间中，相同的原子层叠起来，且各层的球完全对应，就形成了简单立方结构(b)。注意：1）实际上

6、，没有一种晶体具有简单立方结构，但是一些更复杂的晶格可以是几个简单立方结构的叠加；2）简单立方结构的原胞和晶胞是统一的，即原胞和晶胞具有相同的体积；ab4）设a1、a2、a3表示原胞基矢，a、b、c表示晶胞基矢，则a1=a、a2=b、a3=c；若原子半径为r，则点阵常数等于2r。3）一个简单立方原胞可以认为是一个原子群的中心，作为晶体的重复单元，对应点阵中的一个格点。（2）体心立方结构（代号A2）1）如图，体心立方结构除了在顶角处有原子外，在体心位置还有一个原子。三个方向的棱长均相等。讨论：简单立

7、方结构的最大间隙。设为R与简单立方结构相同，原子球在每一层仍然是正方排列，区别在于层与层中原子球的堆积方式不同。体心立方结构的堆积方式是上面一层原子球对准下面一层的空隙。呈现2）原子在每一层的排列ABABAB…形式。由于简单立方结构中的最大间隙不足以放开一个原子，而为了保证每一层原子球的原子间距等于层面内相邻原子之间的间距，所放入的体心原子必然撑开层中相切的原子，导致每一层原子球的正方排列并不是紧密靠在一起的。原子球之间存在间隙。Δ==0.31r设原子球的半径为r0，则每层面内相邻原子球之间的间隙

8、为：碱金属和Fe等具有该结构。3）体心立方结构的原胞设a、b、c表示晶胞的基矢，a1、a2、a3表示原胞的基矢，晶胞点阵常数为a，则有a=ai、b=aj、c=ak，晶胞的体积为V=a3abca1a2a3O若原子半径为r，则点阵常数为由矢量运算得到原胞的基矢a1、a2、a3表示式a1=a/2（-i-j+k）a2=a/2（-i+j-k）a3=a/2（i+j+k）则原胞的体积为v=a3•(a2×a1)=所以原胞的体积为晶胞体积的一半。原胞包含一个原子。（3）密堆积结构由以上讨论，简单立方