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1、山/西/财/经/大/学/学/报JournalofShanXiFinanceandEconomicsUniversityNov.,2002Vol.24SUPPLEMENT2002年11月第24卷研究专刊Black-Scholes期权定价公式的简化推导郭文英[摘要]在Black-Scholes期权定价公式的推导过程中,需要用到随机过程,通过求解一个随机微分方程得到解析解。因此没有一定数学知识的读者是难以理解的。本文中我们给出一个Black-Scholes期权定价公式的简化推导,使具有微积分和概率论知识的读者也能理解。[关键词]期权;对数正态分布;数学期
2、望1973年,美国金融学家Black和Scholes在股票价格服从即几何布朗运动和不存在无风险套利机会等条件下,运用连续2σ2LnsT≈N(Lns+(r-)(T-t),σ(T-t))交易值策略推出了著名的Black-Scholes期权定价公式,在金2ξ融界引起强烈震动,推动了金融衍生证券的发展。在短短几设ξ=LnsT,则sT=e因此我们有年时间内这个模型被推广应用到认股证书、可兑现债券等许ξ多其他金融工具。他们的模型被描述成“不仅在金融领域,而C+=E(max(sT-x,0))=E(max(e-x,0))+∞+∞且在整个经济中最为成功的理论”。因而
3、,Scholes和Merton被yy=∫(e-x)f(y)dy=∫ef(y)dy+∫xf(y)dy授于1997年的诺贝尔经济学奖。yLnxLnxe-xE0在Black-Scholes期权定价公式中假设:12=C++C+1)股票价格S服从参数σμ,为常数的随机过程:其中f(y)为ξ的分布密度。ds=μsdt+σsdZ,其中dZ是一个维纳过程。σ2(y)-(Lns+(r-)(T-t)))22)允许使用全部所得卖空衍生证券;12f(y)=exp(-2)3)2πσT-t2σ(T-t)无交易费用或税收所以有4)在衍生证券的有效期内没有红利支付;σ2+∞(y-
4、(Lns+(r-)(T-t)))25)不存在无风险套利机会;112C+=∫exp(-2+y)dy6)证券交易是连续的;2πσT-t2σ(T-t)Lnxσ27)无风险利率r为常数且对所有到期日都相同。+∞(y-(Lns+(r-)(T-t)))212设f是依赖于S的衍生证券的价格,因此f满足如下的微=∫exp(-22πσT-t2σ(T-t)Lnx分方程:+Lns+r(T-t))dy29f+rs9f+1σ2s29f=rfσ29t9s22+∞(y-(Lns+(r-)(T-t)))29sLns+r(T-t)12)dy=e∫exp(-2欧氏看涨期权的边界条件为
5、:2πσT-t2σ(T-t)Lnxf=max((s-x),0),当t=T时,期中x为执行价格。Lns+r(T-t))=eN(d1σ2通过求解此微分方程就可得到Black-Scholes期权定价sLn(r+)(T-t)x2公式。但其中的推导过程是相当复杂的,没有相当的知识是其中d1=σT-t难以理解的。下面我们给出一种简单的推到方法,使具有微而积分和概率论知识的读者也能理解。σ2+∞(y-(Lns+(r-)(T-t)))2在以上假设的基础上,我们再假设:2x1exp2)dyC+=∫(-22πσT-t2σ(T-t)8)证券组合是风险中性的。Lnx=xN
6、(d2)在风险中性世界中,不支付红利的股票的欧氏看涨期权σ2s的数学期望为Ln(r+)(T-t)x2其中d2=C+=E(max(sT-x,0)),其中sT是T时刻的股票价格。σT-t欧氏看涨期权的价格是这个值以无风险利率r贴现的结故不付红利的欧氏看涨期权的价格C为:-r(T-t)-r(T-t)果:C=eC+=sN(d1)-xeN(d2)C=e-r(T-t)C-r(T-t)这就是著名的Black-Scholes期权定价公式。以此为基+=eE(max(sT-x,0)),在风险中性世界中,股票的价格是服从对数正态分布的,础可得欧氏看跌期权的价格。[作者单
7、位:北京航空航天大学经管学院责任编辑:李志清]·142·
