2016-2017学年高中数学苏教版必修4学业分层测评2.4.1数量积的定义Word版含解析.pdf

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1、学业分层测评(二十一)数量积的定义(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．e1，e2是两个平行的单位向量，则e1·e2＝________.【解析】∵e1∥e2，∴e1，e2的夹角为0°或180°，∴e1·e2＝

2、e1

3、

4、e2

5、cosθ＝±1.【答案】±12．已知

6、a

7、＝8，

8、b

9、＝4，a与b的夹角为120°，则向量b在a方向上的投影为________．【解析】∵

10、a

11、＝8，

12、b

13、＝4，b在a方向上的投影为

14、b

15、cos120°＝4×cos120°1－＝4×2＝－2.【答案】－23．若向量a，b满足

16、a

17、＝

18、b

19、＝1，a

20、与b的夹角θ为120°，则a·a＋a·b＝________.【解析】∵

21、a

22、＝

23、b

24、＝1，a与b的夹角为120°，1∴a·b＝

25、a

26、

27、b

28、cos120°＝－.2又a·a＝

29、a

30、2＝1，11∴a·a＋a·b＝1－＝.221【答案】2→→→→→4．在△ABC中，

31、AB

32、＝13，

33、BC

34、＝5，

35、CA

36、＝12，则AB·BC的值是________．→→→【解析】∵

37、AB

38、＝13，

39、BC

40、＝5，

41、CA

42、＝12，→→→∴

43、AB

44、2＝

45、BC

46、2＋

47、CA

48、2，∴△ABC为直角三角形．5又cos∠ABC＝，13→→→→∴AB·BC＝

49、AB

50、

51、B

52、C

53、cos(π－∠ABC)5－＝13×5×13＝－25.【答案】－255．若向量

54、a

55、＝1，

56、b

57、＝2，

58、a－b

59、＝2，则

60、a＋b

61、＝________.【解析】∵

62、a

63、＝1，

64、b

65、＝2，

66、a－b

67、＝2，∴a2－2a·b＋b2＝4，即

68、a

69、2－2a·b＋

70、b

71、2＝4，得1－2a·b＋4＝4，∴2a·b＝1.于是

72、a＋b

73、＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋1＋4＝6.【答案】66．设向量a，b满足

74、a＋b

75、＝10，

76、a－b

77、＝6，则a·b＝________.【解析】∵

78、a＋b

79、＝10，

80、a－b

81、＝6，a＋b2＝10，

82、①∴a－b2＝6，②①－②得a·b＝1.【答案】17．已知

83、a

84、＝2，

85、b

86、＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为________．【导学号：06460062】【解析】∵

87、a

88、＝2，

89、b

90、＝1，a与b之间的夹角为60°，∴a·b＝2×1×cos60°＝1，∴

91、a－4b

92、＝a－4b2＝a2＋16b2－8a·b＝4＋16－8＝23.【答案】23π8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，3则实数λ＝________.【解析】由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)

93、，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcosπ，即λ23＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.【答案】－8或5二、解答题9．(2016·南通高一检测)已知

94、a

95、＝4，

96、b

97、＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求

98、a＋b

99、；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．【解】(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4

100、a

101、2－4a·b－3

102、b

103、2＝61.∵

104、a

105、＝4，

106、b

107、＝3，∴a·b＝－6，∴

108、a＋b

109、＝

110、a

111、2＋

112、b

113、2＋2a·b＝

114、42＋32＋2×－6＝13.(2)∵a·(a＋b)＝

115、a

116、2＋a·b＝42－6＝10，a·a＋b101013∴向量a在向量a＋b方向上的投影为＝＝.

117、a＋b

118、131310．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？【解】∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke222＋1)e1＋ke2＋(k1·e2＝2k＞0，∴k＞0.但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k＞0且

119、k≠1.[能力提升]1．(2016·镇江高一检测)定义：

120、a×b

121、＝

122、a

123、·

124、b

125、·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若

126、a

127、＝2，

128、b

129、＝5，a·b＝－6，则

130、a×b

131、等于________．34【解析】由

132、a

133、＝2，

134、b

135、＝5，a·b＝－6，得cosθ＝－，sinθ＝，554∴

136、a×b

137、＝

138、a

139、·

140、b

141、·sinθ＝2×5×＝8.5【答案】82．若非零向量a，b满足

142、a

143、＝

144、b

145、，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为________．【解析】∵(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝0，12∴a·b＝－

146、b

147、，设a与b的夹角为

148、θ，212－

149、b

150、a·b1∴cosθ＝＝2＝－，

151、a

152、·

153、b

154、2

155、a

156、

157、b

158、∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°.【答案】120°3．(2016·苏州高一检测)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E→→为CD的中点．若AC·BE＝1，则AB的长为________．→→→1【解析