高中数学第2章平面向量2.4.1数量积的定义学案苏教版必修4

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1、第1课时　数量积的定义1．了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．(易错点)2．理解平面向量数量积的含义及其几何意义．(重点)3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)[基础·初探]教材整理1　向量的数量积阅读教材P83的有关内容，完成下列问题．　已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝

6、a

7、

8、b

9、cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.已知

10、a

11、＝3，

12、b

13、＝6，则(1)若a与b夹角为0°，则a·b＝________；(2)若a与b的夹角为60°，

14、则a·b＝________；(3)若a与b的夹角为90°，则a·b＝________.【解析】　(1)若a∥b，则a与b的夹角为0°，∴a·b＝

15、a

16、

17、b

18、cos0°＝

19、a

20、

21、b

22、＝18.(2)a·b＝

23、a

24、

25、b

26、cos60°＝3×6×＝＝9.(3)a·b＝

27、a

28、

29、b

30、cos90°＝3×6×0＝0.【答案】　(1)18　(2)9　(3)0教材整理2　两个向量的夹角阅读教材P83的有关内容，完成下列问题．1．定义：已知两个非零向量a，b，如图241所示．作＝a，＝b，则∠AOB称为向量a与b的夹角．图2412．范围：0°≤θ≤180°.3．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a

31、与b反向．4．当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.试指出图242中向量的夹角，图①中向量与的夹角________；图②中向量与的夹角________；图③中向量与的夹角________；图④中向量与的夹角________．图242【答案】　θ　0°　180°　θ教材整理3　向量的数量积的运算律及性质阅读教材P84及P85链接完成下列问题．1．向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数λ.(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2．数量积的性质：(1)a·a＝

32、a

33、2或

34、a

35、＝；(2)

36、a·b

37、

38、≤

39、a

40、

41、b

42、；(3)a⊥b⇒a·b＝0.3．数量积的几何意义：a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度

43、a

44、与b在a的方向上的投影

45、b

46、cosθ的乘积．已知

47、a

48、＝3，

49、b

50、＝5，a与b的夹角为45°，则a在b上的投影为________；b与a上的投影为________．【解析】　a在b上的投影为

51、a

52、cos45°＝3×＝；b在a上的投影为

53、b

54、cos45°＝5×＝.【答案】　　[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]向量数量积的运算及几何意义　已知

55、a

56、＝2，

57、b

58、＝3，a与b的夹

59、角为120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．【精彩点拨】　借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)．【自主解答】　(1)a·b＝

60、a

61、

62、b

63、cos120°＝2×3×＝－3.(2)a2－b2＝

64、a

65、2－

66、b

67、2＝4－9＝－5.(3)(2a－b)(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2

68、a

69、2＋5

70、a

71、

72、b

73、cos120°－3

74、b

75、2＝8－15－27＝－34.1．求平面向量数量积的步骤：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求

76、a

77、和

78、b

79、；③求数量积，即a·b＝

80、a

81、

82、b

83、cosθ.要特别注意书写时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而

84、不能用“×”连接，也不能省去．2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．[再练一题]1．已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)·；(2)·；(3)·.【解】　(1)∵与的夹角为60°，∴·＝

85、

86、

87、

88、cos60°＝1×1×＝.(2)∵与的夹角为120°，∴·＝

89、

90、

91、

92、cos120°＝1×1×＝－.(3)∵与的夹角为60°，∴·＝

93、

94、

95、

96、cos60°＝1×1×＝.求向量的模　已知向量＝a，＝b，∠AOB＝60°，且

97、a

98、＝

99、b

100、＝4.求

101、a＋b

102、，

103、a－b

104、，

105、3a＋b

106、.【精彩点拨】　根据已知条件将向量的模利用

107、a

108、＝转化为数量积的运算求解．【自主解答】

109、　∵a·b＝

110、a

111、·

112、b

113、cos∠AOB＝4×4×＝8，∴

114、a＋b

115、＝＝＝＝4，

116、a－b

117、＝＝＝＝4，

118、3a＋b

119、＝＝＝＝4.1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝

120、a

121、2，勿忘记开方．2．一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．[再练一题]2．已知向量a与b夹角为45°，且

122、a

123、＝1，

124、2a＋b

125、＝，则

126、b

127、＝________.【解析】　因为

128、2a＋b

129、＝，所以(2a