Toeplitz矩阵.ppt

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1、Toeplitz矩阵主要内容Toeplitz矩阵的定义及其性质Toeplitz线性方程组的Levinson递推求解1Toeplitz矩阵的定义及其性质1.1Toeplitz矩阵的定义在数学和工程问题中，常常需要求解具有特殊结构的线性方程组，其中我们把这种任何一条对角线取相同元素的矩阵称为Toeplitz矩阵。最常见的Toeplitz矩阵是对称Toeplitz矩阵，即这种矩阵仅由第一行元素就可完全确定，因此我们常将对称ToeplitzA矩阵简记为若一个复Toeplitz矩阵的元素满足复共轭对称关系即则称之为HermitianToeplitz矩阵特别地，具有特殊

2、结构的维Toeplitz矩阵称为斜HermitianToeplitz矩阵，而矩阵称为斜Hermitian型Toeplitz矩阵，显然此矩阵可表示为。1.2Toeplitz矩阵的性质（1）Toeplitz矩阵的线性组合仍然为Toeplitz矩阵（2）若Toeplitz矩阵A的元素则A为对称Toeplitz矩阵（3）Toeplitz矩阵A的转置仍为Toeplitz矩阵（4）Toeplitz矩阵的元素相对于交叉对角线对称2Toeplitz线性方程组的Levinson递推求解2.1经典Levinson递推考虑前向m阶线性预测和后项m阶预测这里，代表m阶预测器的第i个

3、系数，*表示复共轭定义前向预测误差根据正交性原理知，代入式（2-1）后，可得到预测方程（Yule-Walker方程）式中，是的自协方差函数，而是m阶预测误差滤波器的误差输出功率。简写式（2-4），表示如下在2-5式中取复数共轭，可得后向预测误差滤波器的Yule-Walker方程为类似地，对于m-1阶前、后向预测误差滤波器，它们的Yule-Walker方程分明别为令式中，是待确定的系数，称为反射系数。上式的共轭形式为于是，综合式（2-4）~式（2-10），有比较式2-4和式2-11有这就是求解Toeplitz线性方程组（2-4）的经典Levinson递推2.2

4、Levinson算法现在考虑实数情况，即和滤波器的系数都为实数时的Levinson递推。此时，Levinson递推的乘法运算可以减少一半。这样一种算法称为分基Levinson递推。1.矩阵方法在为实数的情况下，其自协方差函数因此，Yule-Walker方程式（2-5）和式（2-6）可分别写作式中为对称Toeplitz矩阵，且令第一行元素为，即。线性方程式（2-15）和式（2-16）是同一问题的不同表达形式，它们相加得到简记为式中，标量称为分基残差能量；称为分基横向预测参数向量，定义为由于向量的第个元素为显然，具有对称性，即向量是对称的向量。由此可以看出，Yu

5、le-Walker方程式（2-15）中的参数向量是非对称向量，而式（2-18）中的参数向量是对称向量。这一对称性意味着只需要估计向量中的个参数，这就是分基的含义。由式（2-18）的第1行得到利用的对称性，式（2-21）的计算量可减少一半的乘法运算：下面推导分基横向预测参数向量的递推公式。很明显这种递推须保持更新后的仍然具有对称性。因此我们会想到下面的递推形式：这就是分基Levinson递推。将分基Levinson递推公式（3-22）与经典递推（3-12）作比较，我们不难看出二者的明显差别：由于的对称性，分基递推乘法运算是经典递推的一半。分基Levinson算

6、法的最后一个需要解决的问题是分基反射系数的计算。对式（2-24）左乘对称Toeplitz矩阵。令则其中，使用了式（2-18），且类似的，有于是，用左乘式（2-24）可得到由于我们只对感兴趣，故由式（2-29）的第二行有2.多项式方法考查任意维列向量。把向量表示为一个m阶的多项式，令表示的互反多项式，即利用互换矩阵J可得与之间的关系利用以上的符号，多项式的系数向量是对称Toeplitz线性方程组的解。Levinson递推公式（2-12）也可用多项式形式写作新的预测多项式集合满足为对称多项式。利用是（2-33）与式（2-34）得到关系式令表示预测多项式的系数向量

7、矩阵。由式（2-32），（2-34）与式（2-35）可得向量是对称Toeplitz方程组的解。由式（2-36）可得在式（2-34）中用代替，然后借助式（2-35）消去，于是，得到上式直接给出下面的恢复公式：下面推导预测多项式三项之间的递推关系。先借助式（2-38）用和表示。类似地，也用和表示。然后，将这些结果代入公式（2-33），有由式（2-14）知，式（2-40）中的分基反射系数由于可以利用式（2-37）从求出，故我们得：多项式可以迭代使用式（2-41）与式（2-40）连续求出。递推公式（2-40）和（2-41）初值右下是给出：综合（2-37），式（2-4

8、0）~式（2-42）可得到下面的完整分基Levins