热传导方程的建立、数值解法及应用.pdf

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1、热传导方程的数值解法及应用主讲人:陈鹏主要内容1.热传导方程的建立2.用有限差分法建立热差分模型3.双层玻璃中的一维热传导4.利用PDE工具箱设计面包烤盘5.利用差分模型研究浴缸水温的变化规律问题引入思考这样一个问题：对于体积相同形状不同的同种物体，什么形状最能减少热量损失的？热传导方程的建立推导物体的热传导方程时，需要利用能量守恒定律和关于热传导的Fourier定律：热传导的Fourier定律定律(用自己的语言组织)：dt时间内，沿某面积元ds的外法线方向流过的热量dq与该面积元两u侧的温度变化

2、率成正比，比例系数为k.自然条件下温度趋于减少，所n以等式右边有个负号.即：udqkeddstkustddnn2ek又叫导热系数(单位:)W/m，n为该面元的外法向单位向量.对于一个封闭的体积元,在dt时间内其内部的热量的变化为为dQ.通过对体积元的闭合面积分，得到：dQdd=qskustdd进一步对时间积分，我们可以得到从t1到t2时刻流入体积元内部的热量Q1，即：t2t2Q(d)dQtkustdd1tt11又由高斯公式：t2

3、t2t22Qkustdd(ku)ddvtkuxyztdddd1ttt111根据初中所学的热力学公式：物体吸收的热量等于该物体的比热容、质量与温度增量的乘积.我们得到:Qcmu=cuxyzt[(,,,)uxyzt(,,,)]dddxyz221其中：为物体的密度.对Q2进一步变形，可以得到：t2uQcddddxyzt2t1t根据热量守恒，QQ12即：t2t2ukuxyztdddd=cddddxyztt

4、1t1t我们得到：ukuc=t即：222ukuuu=222tcxyz简写为：2uau若物体内部有热源，dt时间内，在(,,)xyz处的体积元内所产生的热量为Fxyzt(,,,)，同样容易得到含热源的热传导方程：2uauf+F其中：f=.c如果时间足够长，温度不再变化，此时u=0,得到稳定场方程.无热源条件下得到Laplace方程：2u=0有热源条件下得到Poisson方程：2uf=但是，在绝热的边界条件下，而内部有不灭热源是无法达到热

5、平衡的。这样，我们的热传导方程便全部建立起来了.通过热传导方程的推导过程，我们还可以得到一个有意思的结论：对于体积相同形状不同的同种物体，球形是最能减少热量损失的。因为对于体积相同的同种物体，用内部热源将其从室温升高到相同的某一温度，其所需的热量是一致的，但是根据傅里叶积分公式，如果物体表面积的增加，那么它的面积分量也会增加，从而导致其散热更快，在相同时间内，其热量损失越多。这可以解释自然界的许多现象。有限差分法使得到热传导数值解成为可能有限差分法就是将带求解的区域划分为无数多个微小的网格(或称为元胞

6、)，网格上承载着位置和温度信息，用网格上的温度近似代替物体所在位置真实的温度.网格是一个为了便于分析和理解的数据结构，在求解的过程中并不存在.有限差分法不仅可以用在求解热传导方程中，在所有的(偏)微分方程都可以用它来求解，包括复杂的电磁场矢量方程.为了简单起见，我们建立二维矩形网格，将温度在二维平面对空间和时间进行差分.n1nn1nuuuuuijijijij将u对时间进行向后差分，得：=limtt0tt将u对空间进行中心差分，得：2uu2uui1,jij,i1,j2

7、O(x)(*)22xxixxyjy2uu2uuij,1ij,ij,12O(y)22yxixyyjy2上式误差之所以为x的高阶无穷小可以通过泰勒公式来证明。泰勒公式展开为佩亚诺余项形式：2u1u22u=u+xxO(x)i1,jij,2xxix2!xxixyjyyjy2u1u22u=u(x)(x)O(x)同理：i1,jij,2xxix2!xxixyjyyjy两项相加：便得2u22u+

8、u=2uxO(x)i1,ji1,jij,2x稍微整理一下便得（*）式最后结合热传导方程，就可以得到差分形式，即下一时刻位于(i,j)号网格n1中，所有位置的温度uij,与上一时刻周围网格温度的关系为：n1nnnnnuu(12r2)rru(u)ru(u)ij,ij,xyxi1,ji1,jyij,1ij,1式中的未知参数是为了书写方便和便于编程所设计的，其中：2222rat/xr,at/yxy显然，对于三维