量子光学习题解答.pdf

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1、量子光学习题解答集二零零三年六月量子光学习题解答第一章GG1¶2AG1.1长L的立方腔内，2Ñ-A2=0，Ñ=iA0。求证满足边界2c¶tG条件的解包含分量A(,)rt=At()cos()sin()sin()kxkykz，xxxyzGArtAt(,)=()sin(kx)cos(ky)sin(kz)，yyxyzGArtAt(,)=()sin()sin(kxky)cos()kz，zzxyzG其中k的分量有1.1.21式决定。证明1.1.21式中n，n，nxyz在某一时刻只有其中之一为零。GG1¶2A解：2Ñ-A2=0（1）2c¶t在直角坐标系中，分离变量GGAii(,)rt=

2、ArAt()()i(,ixyz=,)（2）代入（1）式，有21(¶Ati)2G22ÑAri()c¶t2G==-kArii()At()22即Ñ+=ArkArii()()0（3）再利用分离变量法，令Ar()=XxYyZz()()()（4）i则（3）式分解为dX22dx2+=kXx0dY22dy2+=kYy0dZ22（5）dz2+=kZz02222kkkk++=xyz由（5）式解得Ar()=+(CcoskxDsinkxC)(coskyD+sinky)ix1122xyyi(cCkoszDk+sin)z（6）33zzGGGG¶A(,)rt∵Ert(,)=-¶t（7

3、）GGnE´=0由边界条件¶En=0¶nS把（7）式代入上式，得GGGnAr´=()0G¶Ar()n=0¶nSG⇒Axxxyz(,)rt=At()cos()sin()sin()kxkykz，GAyyxyz(,)rt=At()sin(kx)cos(ky)sin(kz)，GAzzxyz(,)rt=At()sin()sin(kxky)cos()kz再考虑x,,yzL=时的边界条件，得nxpnypk=nzp，kx=L，ky=L，zLnnnxyz,,0=,1,2,""若nnn,,中有两个或两个以上为零，则xyzGGGArtArtArt(,)===(,)(,)0x

4、yzG即A=0，腔内没有电磁场，这个解没有意义。nn,,最多只有一个为零。xyz1.2算符AB,不对易，但满足[[,],][[,],]0ABA==ABB，证明AB+-11[,]ABAB[,]ABBAeee==22eeee。证：记llAB[,]AB=C，f()l=ee（l为参数），ABdflAlB则f(0)1=，f(1)=，=()+eedleABennn--11nn--11∵[,][,]AB=+=ABBBAB[,]CB+BAB[,]=nnn---122n-1CB++BCB([BAB,])=""=nCB（1）llBB=+Aee()ACldfllAB=()ABCf++=

5、lll()()ABC++dlee12-=ln()ln(0)fllfA(+BC)+l212()AB++llC=f()le21122()A+-BllABllC-llCABl=eeeeee22=eAB+-11CAB-[,]ABAB令l=1，即eee==22eeeeAB+1[,]ABBAAB«，则有eee=2e。1.3a为参数，A,B不对易，求证--aaAA2BBA=-a[,]BA+a[,[,]]AB+"。ee2!证：令--aaAAdf--aaAA-aA-aAfB()a=ee，则=-ee()AB-BA=-e[AB,]eda2df--aaAA-aA-aA2=-=ee([,][

6、,])AABABAe[,[,]]AABeda⋯⋯¥nnadf2所以ff()aa=+(0)∑()=BA-[,]BA+a[,[,]]AB+"na=02!n=1nd!a+是一个可以展开成+1.4若f(,)aaaa,的幂级数的函数，证明：（a）+¶f++¶f[,(,)]afaa=,(b)[,(,)afaa]=-，+¶a¶a++(c)--aaaaafaa(,)++aa=f(,aa)，其中a为参数。eeaee++证：∵[,]1aa=，[,]1aa=-n在（1.2）题中（1）式，nn-1¶B[,]AB==nCBC¶B+可以展开成+注意到f(,)aaaa,的正序幂级数，也可以展开成+aa

7、,的反序幂级数，+¶f++¶f=[,(,)]afaa，[,(,)afaa]=-。+¶a¶a2¶¶ff22[,]a=¶¶ff+¶¶ff类似有¶¶aa++2，[,]a=+，[,]a++=-，¶¶aa¶a¶¶aa¶a2+¶¶ff[,]a=-2，¶¶aaf关于aa,+的更高阶的偏导数也有类似的性质。+Afa=-+¶¶ffa记aaA=，则[,]+¶¶aa+¶¶n[,[,[,]]]AA""Af（共n个A）=-()aaf+¶¶aa利用1.3题的结论，有2++-aaaaffaa=-a()aa++¶¶-faa+a()¶¶-2f+"ee¶¶a