量子光学试题解答

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1、3、二能级原子与单模光场发生共振相互作用，系统的哈密顿量为(+)H=ℏλσa+σ+a。如果原子t=0时刻处于激发态

2、e>，而光场处于相−干态

3、α>，计算任意时刻t原子处于基态

4、g>的概率Pg(t)，并作出图形（横坐标表示时间，纵坐标为概率。为方便取α=1）。解：用光子数态可将

5、α>展开为∞

6、α〉=∑F(n)

7、n〉n=02n

8、α

9、α其中：F（n）=exp（-）为光子数的统计分布2n!在相干态

10、ɑ>中，观察到n个光子的概率P（n）满足泊松分布：2nα2P(n)=exp(−α)n!在t=0时原子处于激发态

11、e>,所以系统在0时刻的态矢可以表示为：∞

12、ψ(0)〉=

13、α〉

14、e〉

15、=∑F(n)

16、e，n〉n=0在t时刻，由于光场与原子之间的相互作用，假设系统的态矢演化为：∞ψ(t)=∑F(n)[a(t)e,n+b(t)g,n+1]nn+1n=0由薛定谔方程iψ(t)=Hψ(t)（取ℏ=1），根据初始条件⎧an(0)=1⎨易解得系数为：⎩bn+1(0)=0⎧a(t)=cos(λtn+1)n⎨⎩bn+1(t)=−isin(λtn+1)处于基态

17、g>的概率为：∞∞2n22

18、α

19、α22P(t)=F(n)b(t)=(exp（-）)(sin(λtn+1))g∑n+1∑n=0n=02n!作图：取λ=0.1，ɑ=1用mathematics作图如下取λ=1，ɑ=1

20、用mathematics作图如下取λ=1，ɑ=5用mathematics作图如下取λ=1，ɑ=10用mathematics作图如下23、压缩态的另一种定义：

21、α>g=D(α)S(ξ)

22、0>。.我们学过的压缩+态为

23、β>g=S(ξ)D(β)

24、0>。若

25、α>g=

26、β>g，利用它们关于X1=1/2(a+a)+和X2=-i/2(a-a)的涨落图，求出α和β的关系。解：平移算符为：()(+*)iφDα=expαa−αa其中α=αe()(+*)iϕDβ=expβa−βa其中β=βe压缩算符为：S(ξ)=exp⎛1ξ*a2−1ξa+2⎞⎟其中ξ=reiθ⎜⎝22⎠由压缩相干态的两种

27、定义可知：α=D(α)S(ξ)0gβ=S(ξ)D(β)0g其中∞iθn11(−etanhr)(2n!)20=S(ξ)0=∑2ngnn=0coshrn!2α=D(α)0gg∞12iθn122nm∞k−α1(−etanhr)(2n!)2n!(−α)α=∑e2∑∑2n−m+knn=0coshrn!2m=0m!(2n−m)!k=0k!1∞n−ααβ=D(β)0=e2∑nn=0n!β=S(ξ)βg⎛*⎞m⎛2β⎞(iθ)−⎜⎟n2⎜−12+esinhr2⎟(1)n!⎜⎟∞⎛eiθsinhr⎞⎜2β2coshrβ⎟π22coshr·eiθsinhr=∑(n!coshr)12⎜⎟e

28、⎝⎠∑⎝⎠nn=0⎜⎝coshr⎟⎠m=0m!(n−2m)!定义两个厄米算符：+X1=1/2(a+a)+X2=-i/2(a-a)X1，X2是描述光场的两个正交分量的振幅，且有：i[X,X]=122计算求得光场α、β和β的X1，X2分量的量子涨落和期望值分别gg为：()21⎛−2r2θ2r2θ⎞∆X1=⎜ecos+esin⎟4⎝22⎠()21⎛−2r2θ2r2θ⎞∆X2=⎜esin+ecos⎟4⎝22⎠X=αXα=αcosφ1αg1gX=αXα=αsinφ2αg2gX=βXβ=βcosϕ11β1X=βXβ=βsinϕ21β2X=βXβ=β[cosϕcoshr−cos(θ

29、−ϕ)sinhr]1βg1gX=βXβ=β[sinϕcoshr−sin(θ−ϕ)sinhr]2βg2g用图像描述压缩相干态的产生过程如下：X2X2αβS(ξ)D(α)1βD(β)αX1β1βX1S(ξ)因为α=β，所以α和β的期望值相等，即：gggg⎧⎪X1α=X1β⎨⎪⎩X2α=X2β即：⎧αcosφ=β[cosϕcoshr−cos(θ−ϕ)sinhr]⎨αsinφ=β[sinϕcoshr−sin(θ−ϕ)sinhr]⎩因为α=αcosφ+iαsinφ，将上式代入，有：α=β[cosϕcoshr−cos(θ−ϕ)sin

30、hr]+iβ[sinϕcoshr−sin(θ−ϕ)sinhr]可化为：*iθα=βcoshr−βesinhr