量子光学试题解答

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1、3、二能级原子与单模光场发生共振相互作用,系统的哈密顿量为(+)H=ℏλσa+σ+a。如果原子t=0时刻处于激发态

2、e>,而光场处于相−干态

3、α>,计算任意时刻t原子处于基态

4、g>的概率Pg(t),并作出图形(横坐标表示时间,纵坐标为概率。为方便取α=1)。解:用光子数态可将

5、α>展开为∞

6、α〉=∑F(n)

7、n〉n=02n

8、α

9、α其中:F(n)=exp(-)为光子数的统计分布2n!在相干态

10、ɑ>中,观察到n个光子的概率P(n)满足泊松分布:2nα2P(n)=exp(−α)n!在t=0时原子处于激发态

11、e>,所以系统在0时刻的态矢可以表示为:∞

12、ψ(0)〉=

13、α〉

14、e〉

15、=∑F(n)

16、e,n〉n=0在t时刻,由于光场与原子之间的相互作用,假设系统的态矢演化为:∞ψ(t)=∑F(n)[a(t)e,n+b(t)g,n+1]nn+1n=0由薛定谔方程iψ(t)=Hψ(t)(取ℏ=1),根据初始条件⎧an(0)=1⎨易解得系数为:⎩bn+1(0)=0⎧a(t)=cos(λtn+1)n⎨⎩bn+1(t)=−isin(λtn+1)处于基态

17、g>的概率为:∞∞2n22

18、α

19、α22P(t)=F(n)b(t)=(exp(-))(sin(λtn+1))g∑n+1∑n=0n=02n!作图:取λ=0.1,ɑ=1用mathematics作图如下取λ=1,ɑ=1

20、用mathematics作图如下取λ=1,ɑ=5用mathematics作图如下取λ=1,ɑ=10用mathematics作图如下23、压缩态的另一种定义:

21、α>g=D(α)S(ξ)

22、0>。.我们学过的压缩+态为

23、β>g=S(ξ)D(β)

24、0>。若

25、α>g=

26、β>g,利用它们关于X1=1/2(a+a)+和X2=-i/2(a-a)的涨落图,求出α和β的关系。解:平移算符为:()(+*)iφDα=expαa−αa其中α=αe()(+*)iϕDβ=expβa−βa其中β=βe压缩算符为:S(ξ)=exp⎛1ξ*a2−1ξa+2⎞⎟其中ξ=reiθ⎜⎝22⎠由压缩相干态的两种

27、定义可知:α=D(α)S(ξ)0gβ=S(ξ)D(β)0g其中∞iθn11(−etanhr)(2n!)20=S(ξ)0=∑2ngnn=0coshrn!2α=D(α)0gg∞12iθn122nm∞k−α1(−etanhr)(2n!)2n!(−α)α=∑e2∑∑2n−m+knn=0coshrn!2m=0m!(2n−m)!k=0k!1∞n−ααβ=D(β)0=e2∑nn=0n!β=S(ξ)βg⎛*⎞m⎛2β⎞(iθ)−⎜⎟n2⎜−12+esinhr2⎟(1)n!⎜⎟∞⎛eiθsinhr⎞⎜2β2coshrβ⎟π22coshr·eiθsinhr=∑(n!coshr)12⎜⎟e

28、⎝⎠∑⎝⎠nn=0⎜⎝coshr⎟⎠m=0m!(n−2m)!定义两个厄米算符:+X1=1/2(a+a)+X2=-i/2(a-a)X1,X2是描述光场的两个正交分量的振幅,且有:i[X,X]=122计算求得光场α、β和β的X1,X2分量的量子涨落和期望值分别gg为:()21⎛−2r2θ2r2θ⎞∆X1=⎜ecos+esin⎟4⎝22⎠()21⎛−2r2θ2r2θ⎞∆X2=⎜esin+ecos⎟4⎝22⎠X=αXα=αcosφ1αg1gX=αXα=αsinφ2αg2gX=βXβ=βcosϕ11β1X=βXβ=βsinϕ21β2X=βXβ=β[cosϕcoshr−cos(θ

29、−ϕ)sinhr]1βg1gX=βXβ=β[sinϕcoshr−sin(θ−ϕ)sinhr]2βg2g用图像描述压缩相干态的产生过程如下:X2X2αβS(ξ)D(α)1βD(β)αX1β1βX1S(ξ)因为α=β,所以α和β的期望值相等,即:gggg⎧⎪X1α=X1β⎨⎪⎩X2α=X2β即:⎧αcosφ=β[cosϕcoshr−cos(θ−ϕ)sinhr]⎨αsinφ=β[sinϕcoshr−sin(θ−ϕ)sinhr]⎩因为α=αcosφ+iαsinφ,将上式代入,有:α=β[cosϕcoshr−cos(θ−ϕ)sin

30、hr]+iβ[sinϕcoshr−sin(θ−ϕ)sinhr]可化为:*iθα=βcoshr−βesinhr

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