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《2019-2020年高中数学 1-2 第3课时等比数列的前n项和同步导学案 北师大版必修5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019-2020年高中数学1-2第3课时等比数列的前n项和同步导学案北师大版必修51.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法--错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前n项和.2.掌握等比数列前n项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前n项的问题.在应用时，特别要注意q=1和q≠1这两种情况.3.能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题.重点难点点拨重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n项和公式解决有关问题.难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前n项和的公式及公式的灵活运用.学习方法指导1.等比数列的前n项和公式（1）设
2、等比数列{an}，其首项为a1，公比为q，则其前n项和公式为na1 (q=1)Sn=. (q≠1)也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处.因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q≠1进行讨论.（2）等比数列{an}中，当已知a1,q(q≠1)，n时，用公式Sn=，当已知a1,q(q≠1)，an时，用公式Sn=.2.等比数列前n项和公式的推导除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导.(1)合比定理法由等比数列的定义
3、知：==…==q.当q≠1时，=q,即=q.故Sn==.当q=1时，Sn=na1.(2)拆项法Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)当q≠1时，Sn==.当q=1时，Sn=na1.(3)利用关系式Sn-Sn-1=an(n≥2)∵当n≥2时，Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+qSn-1∴Sn=a1+q(Sn-an)即(1-q)Sn=a1(1-qn)当q≠1时，有Sn=,当q=1时，Sn=na1.注意：(1)错位相减法，合比定理法
4、，拆项法及an与Sn的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧.(2)错位相减法适用于{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求{an·bn}的前n项和.3.等比数列前n项和公式的应用（1）衡量等比数列的量共有五个：a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量.（2）公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分q=1和q≠1的讨论.4.等比数列前n项和公式与函数的关系(1)当公比q≠1时，令A=，则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此可见，非
5、常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1是n的正比例函数（常数项为0的一次函数）.(2)当q≠1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是函数y=-Aqx+A图像上的一群孤立的点.当q=1时，数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点.知能自主梳理1.等比数列前n项和公式（1）等比数列{an}的前n项和为Sn,当公比q≠1时，Sn==;当q=1时，Sn=.(2)推导等比数列前n项和公式的方法是.2.公式特点
6、（1）若数列{an}的前n项和Sn=p(1-qn)(p为常数)，且q≠0,q≠1，则数列{an}为 .（2）在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知 求.［答案］ 1.（1） na1 (2)错位相减法2.（1）等比数列 （2）三 二思路方法技巧命题方向 等比数列前n项和公式的应用［例1］ 设数列｛an｝是等比数列，其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.［分析］ 应用等比数列前n项和公式时，注意对公比q的讨论.［解析］ 当q=1时，S3=3a1=3a3,符合题目条件；当q≠1时，=3a1q2,因为a1≠0,
7、所以1－q3=3q2(1-q),2q3-3q2+1=0,(q-1)2(2q+1)=0,解得q=-.综上所述，公比q的值是1或－.［说明］ （1）在等比数列中，对于a1,an,q,n,Sn五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量.（2）等比数列前n项和问题，必须注意q是否等于1，如果不确定，应分q=1或q≠1两种情况讨论.（3）等比数列前n项和公式中，当q≠1时，若已知a1,q,n利用Sn=来求；若已知a1,an,q,利用Sn=来求.变式应用1 在等比数列{an}中,已知S3=,S6=,求an.［解析］ ∵S6=,S3=,∴S6≠2S3，∴q≠1.=
8、①∴= ②②÷①
