2019-2020年高中数学 1.1.3正弦定理、余弦定理的综合应用双基限时练 新人教A版必修5

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1、2019-2020年高中数学1.1.3正弦定理、余弦定理的综合应用双基限时练新人教A版必修51．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为(　　)A.　　　　　　　　B.C.，或D.，或解析　由余弦定理，得cosB＝＝＝，又0

2、°D．105°，或15°解析　先用正弦定理求角C，由＝，得sinC＝＝＝.又c>a，∴C＝45°，或135°，故B＝105°，或15°.答案　D4．已知三角形的三边之比为a：b：c＝2：3：4，则此三角形的形状为(　　)A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析　设三边长为2a,3a,4a(a>0)，它们所对的三角形内角依次为A，B，C.则cosC＝＝－<0，∴C为钝角．故该三角形为钝角三角形．答案　B5．在△ABC中，下列关系中一定成立的是(　　)A．a>bsinAB．a＝bsinAC．a

3、bsinA解析　在△ABC中，由正弦定理，知a＝，∵0

4、．解析　由A＋B＋C＝180°，求得B＝60°.∴＝⇒BC＝＝＝.答案　8．△ABC中，已知a＝，c＝3，B＝45°，则b＝________.解析　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝2＋9－2××3×＝5，∴b＝.答案　9．在△ABC中，a＝2，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝________.解析　∵cosC＝，∴sinC＝.又S△ABC＝absinC，∴4＝×2×b×，∴b＝3.答案　310．在△ABC中，a＋b＝10，而cosC是方程2x2－3x－2＝0的一个根，求△ABC周长的最小值．解　解方程2x2－3x－

5、2＝0，得x1＝－，x2＝2，而cosC为方程2x2－3x－2＝0的一个根，∴cosC＝－.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c2＝a2＋b2＋ab.∴c2＝(a＋b)2－ab＝100－ab＝100－a(10－a)＝a2－10a＋100＝(a－5)2＋75≥75，∴当a＝b＝5时，cmin＝5.从而三角形周长的最小值为10＋5.11．在△ABC中，如果lga－lgc＝lgsinB＝－lg，且B为锐角，试判断此三角形的形状．解　∵lgsinB＝－lg，∴sinB＝.又∵B为锐角，∴B＝45°.∵lga－lgc＝－lg，∴＝

6、.由正弦定理，得＝.即2sin(135°－C)＝sinC.∴2(sin135°cosC－cos135°sinC)＝sinC.∴cosC＝0，∴C＝90°，∴A＝B＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．12．a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且(sinB＋sinC＋sinA)(sinB＋sinC－sinA)＝sinBsinC，边b和c是关于x的方程x2－9x＋25cosA＝0的两根(b>c)．(1)求角A的正弦值；(2)求边a，b，c；(3)判断△ABC的形状．解　(1)∵(sinB＋sinC＋sinA)(sinB＋sin

7、C－sinA)＝sinBsinC，由正弦定理，得(b＋c＋a)(b＋c－a)＝bc，整理，得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理，得cosA＝＝，∴sinA＝.(2)由(1)知方程x2－9x＋25cosA＝0可化为x2－9x＋20＝0，解之得x＝5或x＝4，∵b>c，∴b＝5，c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，∴a＝3.(3)∵a2＋c2＝b2，∴△ABC为直角三角形．