广义逆矩阵及其应用开题报告

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1、开题报告广义逆矩阵及其应用　　　　　一、选题的背景、意义矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关

2、于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。1855年，埃米特(C.Hermite，

3、1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch，1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重

4、要性质。1854年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。1892年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。广义逆矩阵不仅在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代

5、控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，而且在解线性方程组、矩阵方程组，以及在测量平差中和平面四杆机构综合中，还有在求解离散型动态投入产出模型中都有广泛的应用。这使广义逆矩阵得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。本文主要研究在解线性方程组、矩阵方程组，以及在测量平差中和平面四杆机构综合中的应用。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题本文研究的基本内容为：(一)、引言，主要包括课题研究的背景、研究意义等。(二)、几种广义逆矩阵的叙述，包括Moore—Penrose广义逆矩阵及其分类、左逆、右逆。(三)、广义逆矩阵的一些性质以及证明过程。(四)、广义逆矩阵的一些

6、应用，包括在解线性方程组、矩阵方程，测量平差以及在平面四杆机构综合中等方面的应用，给出相应的例题。了解广义逆矩阵的几种定义，运用广义逆矩阵的计算方法及其性质，不仅可以解系数矩阵是方阵的线性方程组，而且还可以解系数矩阵是的矩阵的一般线性方程，以及矩阵方程。可以提高利用广义逆矩阵解决实际问题的能力。三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标（一）、先采用文献研究法，搜集和阅读大量的相关文献，了解国内外的研究现状，吸收新理念，并对资料进行分类整理。再通过实例分析，进一步了解广义逆矩阵的性质，能更熟练地运用广义逆矩阵的性质来解线性方程、矩阵方程。（二）、研究的主要难

7、点，如何运用广义逆矩阵的性质来解线性方程、矩阵方程。（三）、预期达到的目标，通过本课题的研究，学习广义逆矩阵的性质，能运用广义逆矩阵的性质来解线性方程、矩阵方程。四、论文详细工作进度和安排第七学期第9周至第11周：论文选题，查阅文献资料，收集信息；第七学期第12周至第18周：在广泛查阅文献资料的基础上，完成综述及其论文开题报告，完成外文翻译；第八学期第1周至第3周：全面开展课题研究，完成论文初稿；第八学期第4周至第13周：反复修改毕业论文，最后定稿，准备答辩。五、参考文献：[1].尹钊，贾尚晖.Moore—Penrose广义逆矩阵与线性方程组的解[J].数学的实