1.4.2存在量词 (2)

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1、第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词[A级　基础巩固]一、选择题1.下列命题中，既是真命题又是特称命题的是(　　)A.存在一个α0，使tan(90°－α0)＝tanα0B.存在实数x0，使sinx0＝C.对一切α，sin(180°－α)＝sinαD.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ解析：由命题是特称命题，排除C，D；在A中，当α0＝45°时，结论正确；B中，>1，所以不存在x0，使sinx0＝.故选A.答案：A2．下列命题中特称命题的个数是(　　)(1)至少有一个偶数是质数．(2)∃x0∈R，log2x0>0.(3)有

2、的实数大于零．A．0　　　　　B．1　　　　　C．2　　　　　D．3解析：(1)中含有存在量词“至少”，所以是特称命题．(2)中含有存在量词符号“∃”，所以是特称命题．(3)中含有存在量词“有的”，所以是特称命题．答案：D3．下列命题不是“∃x0∈R，x20>3”的表述方法的是(　　)A．有一个x0∈R，使x20>3B．对有些x0∈R，使x20>3C．任选一个x0∈R，使x20>3D．至少有一个x0∈R，使x20>3解析：选项C中“任选一个”是全称量词，没有“∃”的含义．答案：C4．下列特称命题中，假命题是(　　)A．∃x0∈R，x20－2x0－3＝0B．至少有一个x0∈Z，x0

3、能被2和3整除C．存在两个相交平面垂直于同一直线D．∃x0∈{x

4、x是无理数}，x20是有理数解析：垂直于同一直线的两个平面是平行的，所以找不到两个相交平面垂直于同一直线．答案：C5．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是(　　)A．a＜1B．a≤1C．－1＜a＜1D．－1＜a≤1答案：A二、填空题6．若命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”为真命题，则a的取值范围是________．解析：因为函数y＝ex在[0，1]上为增函数，所以1≤y≤e，若p为真，则a≥(ex)max＝e.答案：[e，＋∞)7．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形

5、是正方形；③存在实数x，x＞0；④对于任意实数x，2x＋1是奇数．其中特称命题为________(填序号)．答案：②③8．若∀x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________．解析：依题意有：0＜a2－1＜1⇔⇔⇔－＜a＜－1或1＜a＜.答案：(－，－1)∪(1，)三、解答题9.判断下列命题的真假.(1)∀x∈N，x2>0；(2)圆x2＋y2＝r2(r>0)上存在一点到圆心的距离是r；(3)存在一对实数x0，y0满足2x0＋4y0＝3；(4)方程2x＋4y＝3的所有解都不是整数解.解：(1)假命题：当x＝0时，x2＝0.(2)真命题：由圆的定义知圆上

6、的每一个点到圆心的距离都是r.(3)真命题：满足方程2x＋4y＝3.(4)真命题：当x，y∈Z时，左边是偶数，右边3是奇数，不可能相等.10．关于x的函数y＝x2－(a＋1)x＋2a对于任意a∈[－1，1]的值都有y>0，求实数x的取值范围．解：设f(a)＝x2－(a＋1)x＋2a，则有f(a)＝(2－x)a＋x2－x，a∈[－1，1]，因为a∈[－1，1]时，y＝f(a)>0恒成立，则(1)当x＝2时，f(a)＝2>0显然成立；(2)当x≠2时，由f(a)>0在a∈[－1，1]上恒成立，得即解得x>或x<－.综上可得：x>或x<－.B级　能力提升1．四个命题：①∀x∈R，x2－

7、3x＋2＞0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.其中真命题的个数为(　　)A．0个B．1个C．2个D．3个答案：A2．若命题“∃x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围为______________．解析：由题意可知，Δ＝(1－a)2－4＞0，解得a＜－1或a＞3.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)