隐函数的理论与应用开题报告

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1、开题报告隐函数的理论与应用　　　　　　一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）通常我们遇到的函数都是因变量用自变量的一个解析式（或分段函数用不同的解析式）表示的，如，，.，这种形式的函数我们称之为显函数.但在许多实际问题中，变量之间的函数关系往往不是用显式形式表示的，而是通过一个（或多个）方程或来确定的，这时我们称由或确定的函数为隐函数.二、相关研究的最新成果及动态本文的主要目的是通过对大量文献资料的查阅，寻找各种相关信息，向人们介绍隐函数的理论知识，并且通过隐函数的知识解决一些

2、几何问题和实际问题.本论文首先引出一些关于隐函数的概念．以下是有关概念：定义[1]：设,，函数:.对于方程（1）若存在集合与，使得对于任何，恒有惟一确定的，它与一起满足方程（1），则称由方程（1）确定一个定义在上，值域含于的隐函数.定义[2]：设和为定义在区域上的两个三元函数。若存在区间,对于内任意一点,分别有区间和上唯一的一对值,,它们与一起满足方程组（2）；则说方程组(2)确定了两个定义在区间上,值域分别落在和内的函数.我们称这两个函数为由方程组(2)所确定的隐函数组,若分别记这两个函数为,,则在区间上

3、成立恒等式和.隐函数存在惟一性定理[3]若满足下列条件：（i）函数在以为内点的某一区域上连续；（ii）（通常称为初始条件）；（iii）在内存在连续的偏导数；（iv），则在点的某领域内，方程惟一地确定了一个定义在某区间内的函数（隐函数），使得①时且；②在内连续.隐函数存在定理的推广定理1[4]设在的一个领域内连续，满足1）2）存在正数及，使以下（）、（）两条件至少有一个成立（）（）这里等是关于的导数.那么存在上的连续函数，使定理2[5]函数是带域上的有界函数，的导数处处存在，且满足，在上可测，则存在，使得.定

4、理3[6]若函数满足下列条件:（1）函数在以为内点的某一区域上连续；（2）；（3）在内存在关于的直到阶的连续偏导数,且;（4）.则当为偶数时,在点的某领域内,方程惟一地确定了一个定义在某区间内的函数(隐函数),使得（1）时且；（2）在内连续;注:当为奇数时,无法判断隐函数的存在性,也无法判断惟一性.隐函数组定理[7]设方程组（3），若（3）中的与满足：（i）在上连续，；（ii）；（iii）在内存在一阶连续偏导数；（iv），则、使，，即有，，满足及，；、在内连续；、在内存在一阶连续偏导数，且隐函数求导的方法[

5、8]1、显化法把隐函数化为显函数后，再利用显函数求导数的方法来求隐函数的导数.此种方法常用于较容易化为显函数的隐函数的求导，但是此种方法由于受有些隐函数不能或较难化为显函数限制，而不是很常用.2、公式法利用公式：来求隐函数的导数的方法[9].这种方法要求先把确定隐函数的方程写成的形式，再对的两边同时分别对求导数，然后再利用该公式求出.而且在对的两边同时分别求导数时，需要先后把看作常数(其实是根据为的独立变量)这对初学者来说不容易分辨.而且此方法的计算量较大.3、微商法利用对确定隐函数的方程两边同时求微分，再

6、根据函数的微分与函数的导数之间的关系（对的导数即为的微分与的微分的商）求出隐函数的导数的方法.此种方法与公式法有着同样的缺点，即：在求微分的过程中需要分别把看作独立变量，而且该方法比公式法的计算过程更复杂一些.4.参数法引入参数把隐函数转换成由参数方程所确定的函数，再利用参数方程组所确定的函数的求导法则来求该隐函数的导数的方法.该方法在把隐函数转换成由参数方程组所确定的函数时，步骤较为复杂，因此一般很少使用.5、复合法把隐函数转换成复合函数，再利用复合函数求导法则来求该隐函数的导数的方法.该方法的原理类似于

7、对数求导法原理，但比对数求导法适用性更广泛.6、直接法直接把确定隐函数的方程中的看成是的函数,再对方程的两边同时求对的导数，从而得到一个含有的方程，由此方程解出的方法.该方法具有很好的适用性，因此也被广泛使用，但是该方法要求使用者比较熟悉复合函数的求导法、对数求导法等一些基本的导数知识，而且若能够把此方法和复合法灵活地结合起来使用，将是求导数问题的一个极其有用的工具.隐函数极值定理定理1[10]设函数在的邻域内具有二阶连续偏导数,且，则当时,由方程确定的隐函数在处取得极大值;当时,由方程确定的隐函数在处取得

8、极小值.定理2[11]设函数在点的邻域内具有一阶、二阶连续偏导数,且，.由方程所确定的元函数为，则当为正定矩阵时,在处取得极小值;当为负定矩阵时,在处取得极大值;当为不定矩阵时,在处不取得极值.其中.隐函数[12]的极值求法（一）隐函数确定的函数的极值求解步骤归纳如下[13]：⑴利用隐函数求导方法求出.⑵求出函数的定义域内特殊的点：导数等于零的点（驻点），即的点；导数不存在的点的点；有的隐函数还存在同时既是导数等