【数学与应用数学专业】【毕业论文】隐函数的理论与应用

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1、（　20　届）本科毕业论文隐函数的理论与应用摘要：通常我们遇到的函数都是因变量用自变量的一个解析式表示的，如，，.，这种形式的函数我们称之为显函数.但在许多实际问题中，变量之间的函数关系往往不是用显式形式表示的，而是通过一个（或多个）方程或来确定的，这时我们称由或确定的函数为隐函数.本文首先给出隐函数，隐函数组的定义、定理、定理的推广，接下来叙述了隐函数求导的方法，如显化法，公式法和参数法等．然后叙述了隐函数极值定理，再通过利用隐函数极值定理求隐函数的极值，最后介绍了隐函数的应用.关键词：隐函数；隐函数组；导数；极值；曲线；曲面

2、TheTheoryandApplicationoftheImplicitFunctionsAbstract：Usually,functionswemetareexpressedbyindependentvariable’sanalyticexpression,Suchas，.,thisformofexplicitfunctionisjustcalledtheImplicitFunction.However,inmanyparcticalproblems,thefunctionalrelationshipbetweenvariab

3、lesisoftennotexplicitlyexpressedinusing,butthroughone(ormore)equationsortodetermine,Thenwecallthefunctiondefinedbyorimplicitfunctions.Thispapergivesthedefinitionsofimplicitfunctionandimplicitfunctiongroup,theorems,theorem’spopularize,thendescribemethodstotheimplicitf

4、unctionderivation,suchasExplicitation,formulamethod,parametricmethodandsoon.Thendescribetheextremevaluetheoremofimplicitfunction,andthroughextremevaluetheoremoftheimplicitfunctionsolvingextremevalueoftheimplicitfunction,finallyintroducetheapplicationofimplicitfunctio

5、n.Keywords:Implicitfunction;Implicitfunctiongroup;derivative;extremum;Curvedline;Curvedface目录1隐函数的基本概念11.1隐函数的定义11.2隐函数的定理11.3隐函数存在定理的推广32隐函数组的基本概念102.1隐函数组的定义102.2隐函数组的定理103隐函数的求导143.1偏导数的基本概念143.2隐函数求导的方法154隐函数的极值194.1隐函数极值定理194.2隐函数的极值求法215隐函数的应用255.1几何中的应用255.2经济

6、方面中的应用266小结30致谢31参考文献321隐函数的基本概念通常我们遇到的函数都是因变量用自变量的一个解析式（或分段函数用不同的解析式）表示的，如，，.，这种形式的函数我们称之为显函数.但在许多实际问题中，变量之间的函数关系往往不是用显式形式表示的，而是通过一个（或多个）方程或来确定的，这时我们称由或确定的函数为隐函数[1].我们首先介绍一下隐函数的定义．1.1隐函数的定义定义1.1[2]：设,，函数:.对于方程（1-1）若存在集合与，使得对于任何，恒有惟一确定的，它与一起满足方程（1-1），则称由方程（1-1）确定一个定义

7、在上，值域含于的隐函数.1.2隐函数的定理最简单形式的隐函数定理处理如下形式的方程：.（1-2）问题是要决定该方程能否把确定为的函数.如果能，则对于某个函数有，我们就说被（1-2）式“隐含地”确定[3].隐函数存在惟一性定理[2]若满足下列条件：28（i）函数在以为内点的某一区域上连续；（ii）（通常称为初始条件）；（iii）在内存在连续的偏导数；（iv），则在点的某领域内，方程惟一地确定了一个定义在某区间内的函数（隐函数），使得①时且；②在内连续.证：先证隐函数的存在性与惟一性.由条件（iv），不妨设（若，则可讨论）.由条件（

8、iii）在内连续，由连续函数的局部保号性，存在点的某一闭的方领域，使得在其上每一点处都有.因而，对每个固定的，作为的一元函数，必定在上严格增且连续.由初始条件（ii）可知.再由的连续性条件（i），又可知道与在上也是连续的.因此由保号性存在，当时恒有.28如图所示