数学与应用数学专业论文辅助函数在数学中的应用

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1、09级毕业论文答辩稿辅助函数在数学中的应用学号：902091126组别：第（9）组内容提要高等数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线，在数学中的应用是非常重要的.当我们遇到特殊的题目时，用常规方法可能比较复杂.这时我们就需要构造辅助函数，就如同架起一座桥梁，不需要大量的算法就可以得到结果.因此，学习构造辅助函数对于我们证明、解题是非常有帮助的.本论文是从证明定理与解题两方面分别来阐述辅助函数的作用，通过本文我们会更好的了解辅助函数在数学中的应用.关键词：辅助函数定理证明AbstractSummary：Theauxiliaryfunctionisappliedtohigher

2、mathematicsasaddingauxiliarylineingeometry.It’sapplicationsofmathematicsisveryimportant.Usetheconventionalmethodmaybecomplicatedwhenweencounterspecialproblems.Thenwecanconstructtheauxiliaryfunctionlikeabridgedonotneedalotofalgorithmtogettheresult.Therefore,itisveryhelpfulforustostudythestruc

3、tureofauxiliaryfunctiontoproveandsolveproblem.Thispaperexpoundstheapplicationofauxiliaryfunctionrespectivelyfromtwoaspectsoftheoremprovingandproblemsolving.Throughthispaperwewillknowbetterinmathematics.Keywords:auxiliaryfunctiontheoremtestify目录一、绪论1二、辅助函数在定理证明中的应用1(一)构造辅助证明牛顿-莱布尼兹公式1(二)构造辅助函

4、数证明泰勒公式2(三)构造辅助函数证明拉格朗日中值定理4三、辅助函数在解题中的应用5(一)构造辅助函数证明恒等式5(二)构造辅助函数证明不等式7(三)构造辅助函数讨论方程的根9(四)构造辅助函数证明中值问题10(五)构造辅助函数求极限11四、总结12参考文献13后记13辅助函数在数学中的应用一、绪论辅助函数是一种让我们更好的，更简单的学习数学知识的方法，.我在本文讨论了一下辅助函数的应用，发现它在数学中的应用是非常广泛的.我们学习数学不只是探索与发现，还有找到最简单的方法解决问题，本文主要内容是关于一些定理的证明，如牛顿-莱布尼兹公式的证明，泰勒公式的证明和拉格朗日中值定理的证

5、明.这三个定理是我们在学习数学过程中经常用到的，掌握它们的证明非常关键.当然它们的证明有很多方法，这里我们只研究用构造辅助函数的方法来证明.另外还有关于解题时运用构造辅助函数的方法，有关于不等式的证明，恒等式的证明等.我们可以知道在解题方面，辅助函数也是比较适用的，本文就辅助函数的构造举例来说明.二、辅助函数在定理证明中的应用(一)构造辅助证明牛顿-莱布尼兹公式牛顿-莱布尼兹公式是微积分基本定理，他把定积分和不定积分两者联系起来，使得定积分的计算更加简洁和完善，关于它的证明是我们必需要掌握的，学好牛顿-莱布尼兹公式也使我们能够更好地了解微积分.下面我们来看这个公式的证明.定理1

6、若在上是连续的，且是在上的一个原函数，那么分析首先我们来构造辅助函数，现在，我们来研究这个函数的性质.我们定义函数，那么连续，若连续，则有.证明：让函数获得一个增加的量，则对应的函数增量那么可以根据区间的可加性，假设、分别是在上的最小值和最大值，我们可以根据积分第一中值定理，则存在实数，使得13当连续时，存在，使得于是当趋近于0时，趋近于0，即是连续的.若连续，当，，，则.从而我们得出现在，我们来证明牛顿-莱布尼兹公式.证明我们在上面已经证得，所以，.显然，（因为积分区间为，故面积为0），所以.于是有,当时.此时，我们就得到了牛顿-莱布尼兹公式.证毕.(一)构造辅助函数证明泰勒

7、公式泰勒公式是一个用函数在已知某一点的信息描述这一点附近所取值的公式，在函数某一点的各阶导数值已知的情况下，泰勒公式可以将这些导数值的相应倍数作系数构建多项式来近似函数在这一点的值.这样，有时不必计算大量的式子，用泰勒公式来直接近似函数值，会更简单，更快捷的得出结果.我们接下来证明泰勒公式（拉格朗日余项型）.定理2若函数在开区间有直到阶导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于的多项式和一个余项的和，即分析我们知道，那么由拉格朗日中值定理导出的有限增量定理，得到13当，则时，误差.因此，