探究圆锥曲线中的存在性问题

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1、探究圆锥曲线中的存在性问题圆锥曲线是解析几何的核心内容，是中学数学的重点、难点，是高考命题的热点之一,各种解得到了很好的体现和充分的展示，尤其是在最近几年的高考试题中，平面向量与解析几何的融合，提高了解题方法在本章题目的综合性，形成了题目多变，解法灵活的特点,充分体现了高考中以能力立意的命题方向。近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题的形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2010年高考对本讲的考察，仍将以以下两类题型为主。1.求曲线(或轨迹)的方程。对于这类

2、问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系,以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力;2.与圆锥曲线有关的最值(或极值)和取值范围问题，圆锥曲线中的定值、定点问题，探究型的存在性问题。这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、平面向量、函数、不等式、三角函数知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件和结论不完备，要求学生结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高的要求，特别是在解析几何第二问中经常考到“是否存在这样的

3、点”的问题，也就是是否存在定值定点定直线的问题。今天，我就圆锥曲线中的存在性问题从五个方面给大家做一个分享，也希望能给大家带来一点点的启示。一、是否存在这样的常数例:1.(2007宁夏理19题)在平面直角坐标系兀oy中，经过点(o,V2)n.斜率为比的直线z与椭^iy+r=1冇两个不同的交(I)求R的取值范围;(II)设椭圆与兀轴正半轴.y轴正半轴的交点分别为人B,是否存在常数使得向量0P+OQ与43共线？如果存在，求P值；如果不存在，请说明理由.解：(I)由已知条件，直线/的方程为y=kx+近,代入椭鬪方程得—+(h:+V2)2=l.整理得-+k2x2+2y[2kx+l=0①2

4、2>(i、直线/与椭圆有两个不同的交点P和!2等价于A=8疋-4―+疋=4疋一2〉0,(2丿解得£<—J或•即R的取值范围为2迈}一,+82Z(II)设P(勺则OP+00=(%!+兀2，y+y2)，由方程①，西+兀2=—上坯.1+2/又Jl+}?2=kg+勺)+2^2・而力(巧0),B(0,l),AB=(-V2,l).所以OP+OQ与而共线等价于西+勺=-血（）1+旳），将②③代入上式，解得k=—2由(I)知k<-—^k>—,22故没冇符合题意的常数R・练习1:（08陕西卷20）・（本小题满分12分）己知抛物线C：y=2x2,直线y=kx^2交C于人3两点，M是线段的中点，过

5、M作兀轴的垂线交C于点N.（I）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（II）是否存在实数k使丽丽=0,若存在，求k的值；若不存在，说明理山.解法一：（I）如图,设A（x】,2无］2）,B（x2,2x22）,把y=&+2彳弋入y=2兀?得一也一2=0,=-1山韦达定理得西+x2k十•••N点的坐标为一,一（48k2设抛物线在点N处的切线I的方程为y-§将y亠代入上式得2宀咙+¥一「0,•••直线/与抛物线C相切,'mkk，'=m2—2mk+k2=(m—k)2=0,即I//AB.（II）假设存在实数使NAM?=0,则NA丄M3,又・・・M是4B的中点,.•」MN=-AB.+

6、4(2丿由（I）知）:w=空（必+）'）=亍伙兀I+2十滋2十2）=才R（兀]+兀2）十4]_]_（k-_2k2k2k2+6・・・MN丄x轴，.•」MN

7、=

8、^-Xv

9、=-+2--=4oo乂

10、AB

11、=J1+/

12、_兀？

13、=Jl+J(兀]+兀°)2—4旺兀2Vl+P_4x(_l)=丄厶2+1J/+16.¥冷耐曲，解得A*即存在k=±2,使N4NB=O.解法二（I）如图，设A（勺2彳），B（*2,2兀把y=匕+2代入y=2x2得2兀-—kx—2=0.由韦达定理得X]+x,=3,兀1兀？=—1.kk2•••N点的坐标为（48丿・•・抛物线在点N处的切线/的斜率为4x-=k,.l//

14、AB.4••••y=2x2,/.yf4x,（II）假设存在实数k,使NANB=O.由（]）知丽=內_才,2彳_NANBYk}兀2一"7八「4丿24-—、_8丿(kXx~-(1116八x]-—・16丿(kx~~(k1+4<_kX.H“2+"TL4丿I「4丿<4丿I「4丿/]+4西兀2+鸟（兀1+兀2）+~4(k2}3+丄疋、116丿14丿(kkk2}I4216丿即存在k=±2t使NANB=0.练习2•宜线gi・）=1与曲线/・2/=1相交于P、Q两点。（1）当a为何值时