江苏专用2019高考数学二轮复习解答题专项练6数列理

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1、6.数　列1.已知从数列{an}中取出部分项，并按原来的顺序组成一个新的数列，，…，称为数列{an}的一个子数列，若该子数列为等比数列，则称为数列{an}的等比子数列.(1)设数列{an}是一个公差不为0的等差数列，若a1＝1，a3＝6，且a1，a3，，，，…，为数列{an}的等比子数列，求数列{nk}的通项公式；(2)是否存在一个等差数列{an}，使得{bn}是数列{an}的一个等比子数列？其中数列{bn}的公比为q，同时满足b1＝a，b2＝a，b3＝a(a1

2、且a1＝1，a3＝6，则等差数列{an}的公差d＝，所以an＝n－(n∈N*)，＝nk－.又a1，a3，，，，…，为数列{an}的等比子数列，且＝6，所以＝6k＋1，即6k＋1＝nk－，故nk＝(k∈N*).(2)设数列{an}的公差为d，因为a10.由题意得a(a1＋2d)2＝(a1＋d)4，化简得2a＋4a1d＋d2＝0，所以d＝(－2±)a1，而－2±<0，故a1<0.若d＝(－2－)a1，则q＝＝＝(＋1)2，故b1＝a＝(1＋)(1－q)＝(1＋)(－2－2)<0，故舍去.若d＝(－2＋)a1，则q＝＝＝(－1)2，从而b1＝a＝(1＋)(1－q)＝(2－2)(1＋

3、)＝2，所以a1＝－，d＝(－2＋)a1＝2－2，所以an＝(2－2)n－3＋2.又b1＝2，令(2－2)n－3＋2＝2，故n＝不是整数，即b1不是数列{an}中的项.故不存在满足条件的等差数列{an}.2.设等比数列{an}的首项为a1＝2，公比为q(q为正整数)，且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{bn}满足2n2－(t＋bn)n＋bn＝0(t∈R，n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)试确定t的值，使得数列{bn}为等差数列；(3)当{bn}为等差数列时，对每个正整数k，在ak与ak＋1之间插入bk个2，得到一个新数列{cn}.设Tn是数列{cn}的前n项和，试求满

4、足Tm＝2cm＋1的所有正整数m.解　(1)由题意6a3＝8a1＋a5，则6q2＝8＋q4，解得q2＝4或q2＝2(舍)，则q＝2，又a1＝2，所以an＝2n.(2)当n＝1时，2－(t＋b1)＋b1＝0，得b1＝2t－4，当n＝2时，2×22－(t＋b2)×2＋b2＝0，得b2＝16－4t，当n＝3时，2×32－(t＋b3)×3＋b3＝0，得b3＝12－2t，则由b1＋b3＝2b2，得t＝3，而当t＝3时，2n2－(3＋bn)n＋bn＝0，得bn＝2n，由bn＋1－bn＝2(常数)知，此时数列{bn}为等差数列，故t＝3.(3)由(1)(2)知，an＝2n，bk＝2k.由题意知，c1＝a1

5、＝2，c2＝c3＝2，c4＝a2＝4，c5＝c6＝c7＝c8＝2，c9＝a3＝8，…，则当m＝1时，T1≠2c2，不合题意，当m＝2时，T2＝2c3，适合题意.当m≥3时，若cm＋1＝2，则Tm≠2cm＋1，一定不适合题意，从而cm＋1必是数列{an}中的某一项ak＋1，则Tm＝a1＋＋a2＋＋a3＋＋a4＋…＋ak＋，＝(2＋22＋23＋…＋2k)＋2(b1＋b2＋b3＋…＋bk)＝2×(2k－1)＋2×＝2k＋1＋2k2＋2k－2，2cm＋1＝2ak＋1＝2×2k＋1，所以2k＋1＋2k2＋2k－2＝2×2k＋1，即2k－k2－k＋1＝0，所以2k＋1＝k2＋k.2k＋1(k∈N*)为奇

6、数，而k2＋k＝k(k＋1)为偶数，所以上式无解.即当m≥3时，Tm≠2cm＋1.综上知，满足题意的正整数仅有m＝2.3.(2018·江苏省邗江中学期中)已知各项均为正数的数列满足a＝2a＋anan＋1，且a2＋a4＝2a3＋4，其中n∈N*.(1)求数列的通项公式；(2)设数列{bn}满足bn＝，是否存在正整数m，n(1

7、n－an＋1＝0，即2an＝an＋1，∴数列{an}是公比为2的等比数列.由a2＋a4＝2a3＋4，得2a1＋8a1＝8a1＋4，解得a1＝2.∴数列{an}的通项公式为an＝2n，n∈N*.(2)解　bn＝＝，若b1，bm，bn成等比数列，则2＝，即＝.由＝，得＝，∴－2m2＋4m＋1＞0，解得1－＜m＜1＋.又m∈N*，且m＞1，∴m＝2，此时n＝12.故存在正整数m＝2，n＝12，使得b1，bm，bn成