2018-2019版高中数学 第二讲 讲明不等式的基本方法复习课学案 新人教A版选修4-5

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1、第二讲讲明不等式的基本方法复习课学习目标　1.系统梳理证明不等式的基本方法.2.进一步体会不同方法所适合的不同类型的问题，针对不同类型的问题，合理选用不同的方法.3.进一步熟练掌握不同方法的解题步骤及规范．1．比较法作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据是：不等式的意义及实数大小比较的充要条件．证明的步骤大致是：作差——恒等变形——判断结果的符号．2．综合法综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推理的基本理论．证明时要注意的是作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号

2、的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．3．分析法分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即从待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．4．反证法反证法是一种“正难则反”的方法，反证法适用的范围：①直接证明困难；②需要分成很多类进行讨论；③“唯一性”“存在性”的命题；④结论中含有“

3、至少”“至多”否定性词语的命题．5．放缩法放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③用基本不等式放缩.类型一　比较法证明不等式例1　若x，y，z∈R，a＞0，b＞0，c＞0.求证：x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)．证明　∵x2＋y2＋z2－2(xy＋yz＋zx)＝＋＋＝2＋2＋2≥0，∴x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)成立．反思与感悟　作差法证明不等式的关键是变形，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具

4、体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．跟踪训练1　设a，b为实数，0＜n＜1,0＜m＜1，m＋n＝1，求证：＋≥(a＋b)2.证明　＋－(a＋b)2＝－＝＝＝≥0，∴＋≥(a＋b)2.类型二　综合法与分析法证明不等式例2　已知a，b，c∈R＋，且ab＋bc＋ca＝1，求证：(1)a＋b＋c≥；(2)＋＋≥(＋＋)．证明　(1)要证a＋b＋c≥，由于a，b，c∈R＋，因此只需证(a＋b＋c)2≥3，即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，根据条件，只需证a2＋b2＋c2≥1＝ab＋bc＋ca，由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝

5、b＝c＝时取等号)可知，原不等式成立．(2)＋＋＝，在(1)中已证a＋b＋c≥，∵ab＋bc＋ca＝1，∴要证原不等式成立，只需证≥＋＋，即证a＋b＋c≤1＝ab＋bc＋ca.∵a，b，c∈R＋，a＝≤，b≤，c≤，∴a＋b＋c≤ab＋bc＋ca(a＝b＝c＝时取等号)成立，∴原不等式成立．反思与感悟　证明比较复杂的不等式时，考虑分析法与综合法的结合使用，这样使解题过程更加简洁．跟踪训练2　已知a＞b＞c，求证：＋＋＞0.证明　方法一　要证＋＋＞0，只需证＋＞.∵a＞b＞c，∴a－c＞a－b＞0，b－c＞0，∴＞，＞0，∴＋＞成立，∴＋＋＞0成立．方法二　∵a＞b＞c，∴a－c＞a－

6、b＞0，b－c＞0，∴＞，＞0，∴＋＞，∴＋＋＞0.类型三　反证法证明不等式例3　若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：<2或<2中至少有一个成立．证明　假设<2和<2都不成立，则≥2和≥2同时成立．因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.这与已知x＋y>2矛盾．故<2或<2中至少有一个成立．反思与感悟　反证法的“三步曲”：(1)否定结论．(2)推出矛盾．(3)肯定结论．其核心是在否定结论的前提下推出矛盾．跟踪训练3　已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b)＜f(b)＋f(－a)，求证：a＜b.证明　

7、假设a＜b不成立，则a＝b或a＞b.当a＝b时，－a＝－b，则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)，于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾．当a＞b时，－a＜－b，由函数y＝f(x)的单调性，可得f(a)＞f(b)，f(－b)＞f(－a)，于是有f(a)＋f(－b)＞f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假设不成立．∴a＜b.类型四　放缩法证明不等式例4　已知n∈N＋，求证：2(－1)＜1＋＋＋…＋＜2.证明　∵对k∈N＋，1≤k≤n