2019_2020学年高中数学第1章解三角形1.1正弦定理（第1课时）正弦定理（1）讲义苏教版必修5

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1、第1课时　正弦定理(1)学习目标核心素养1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．(难点)2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．(重点)1.通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养学生逻辑推理的核心素养.2.借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养学生数学运算的核心素养.1．正弦定理三角形的各边和它所对角的正弦之比相等．即＝＝.思考1：正弦定理的适用范围是什么？[提示]　正弦定理对任意三角形都成立．思考2：在△ABC中，、、各自等于什么？[提示]　＝＝＝2R(R为三角形的外接圆半径)．2．解斜三角形(1)解斜三

2、角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求其余未知元素的过程．(2)利用正弦定理可以解决的两类解斜三角形的问题①已知两角与任一边，求其他两边和一角；②已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．思考3：正弦定理的主要功能是什么？[提示]　正弦定理实现了三角形中边角关系的转化．1．判断正误(1)正弦定理适用于所有三角形．(　　)(2)在△ABC中，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．(　　)(3)＝＝＝2R，其中R为△ABC的外接圆的半径．(　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)√2．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝，

3、则sinB＝________.　[根据＝，有＝，得sinB＝.]3．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝________.2　[由正弦定理可知，＝，所以AC＝＝＝2.]正弦定理的证明【例1】　在钝角△ABC中，证明正弦定理．[证明]　如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB.∴＝.同理，＝.故＝＝.1．本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使理解更深刻，记忆更牢固．2．要证＝，只需证asinB＝bsinA，而asinB

4、，bsinA都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．1．如图所示，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明＝2R.[证明]　连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，则圆周角∠A′＝∠A.∵A′B为直径，长度为2R，∴∠A′CB＝90°，∴sinA′＝＝，∴sinA＝，即＝2R.已知两角及一边解三角形【例2】　在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．[解]　因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.由＝得a＝＝10×＝10.因为sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°

5、cos45°＋cos30°sin45°＝，所以b＝＝＝20×＝5＋5.已知三角形的两角和任一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角.(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边.2．在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.[解]　由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理＝，得c＝a·＝5·＝5·＝5·＝(＋).已知两边及一边的对角解三角形【例3】　(1)△ABC的内角A，B，C

6、的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.(2)在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解这个三角形．(1)75°　[由题意得：＝，所以sinB＝＝＝，因为b＜c，所以B＝45°，所以A＝180°－B－C＝75°.](2)[解]　因为＝，所以sinC＝＝＝.因为0°＜C＜180°，所以C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1；当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.所以b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.已知两边及其中一边的对角解三角形的思路(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；(

7、2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.3．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则角C等于(　　)A.或　　　　B.C.D.C　[由正弦定理，得sinC＝＝.因为BC＞AB，所以A＞C，则0＜C＜，故C＝.]4．已知△ABC中，a＝x，b＝