2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案

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1、--2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一．（本题满分9分）求函数y=2x2-2x+1的极小值解略：x=1时，y取最小值1.22二．（本题满分9分）化简[（1+sin2θ)2-cos4θ][(1+cos2θ)2-sin4θ]解：原式=(1+sin2θ+cos2θ)(1+sin2θ-cos2θ)2222·(1+cosθ+sinθ)(1+cosθ-sinθ)2=4(1-cos2θ)(1+cos2θ)=4sin2θ三．（本题满9分）甲，乙二容器内都盛有酒精甲有V1公斤，乙有V2公斤甲中纯酒精与水（重量）之比为m1:n1

2、,乙中纯酒精与水之比为m2:n2问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？解:甲中含纯酒精m1v1(公斤),含水n1v1(公斤),m1n1m1n1乙中含纯酒精m2v2(公斤),含水n2v2(公斤)m2n2m2n2甲乙共含纯酒精m1v1m2v2m1v1(m2n2)m2v2(m1n1)公斤m1n1m2n2(m1n1)(m2n2)甲乙共含水n1v1n2v2n1v1(m2n2)n2v2(m1n1)公斤m1n1m2n2(m1n1)(m2n2)混合后,纯酒精与水之比为[m1v1(m2n2)m2v2(m1n1)]:[n1v1(m2n2)

3、n2v2(m1n1)]-----四．（本题满分9分）-----叙述并且证明勾股定理解：略五．（本题满分14分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域设A及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得∠BAP=α同时在B站测得∠BAP=β问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？解：作PC⊥AB于C，设PC=d，P在直角三角形PAC中，AC=d·ctgα在直角三角形PC中，BC=d·ctgAαβB-----β∴S=AC+

4、BC=d（ctgα+ctgβ）C-----当d≤D，即ctgα+ctgβ≥S时，应向外国船发出警告D六．（本题满分14分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x<0.1,可用：ln(1+x)≈x，取lg2=0.3,ln10=2.3)解：年增长率x应满足100（1+X)40=500,即（1+X)40=5.取自然对数有40ln(1+x)=ln5.又lg5=1-0.3=0.7ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61-----利用ln(1+x)≈

5、x,则有x≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%-----答：每年约增长百分之四七．（本题满分18分）设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的CE-----延长线相交于点A，与CF的延长FBA线相交于点B求证：BFBC3DAEAC30证：连接CD因∠CFD=90，所以CD为圆O的直径，又AB切圆O于D，0∴CD⊥AB又在直角三角形ABC中，∠ACB=90，22∴AC=AD·AB，BC=BD·BABDBC2(1)ADAC2.22又因BD=BC·BF，AD=AC·AEBD2BCBFAD2AC(2)

6、AEBCBFBC4BFBC3ACAEAC4AEAC3由（1）与（2）得---