1979年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案

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1、1979年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一．（本题满分9分）求函数y=2x2-2x+1的极小值解略：x=时，y取最小值.二．（本题满分9分）化简[（1+sin2θ)2-cos4θ][(1+cos2θ)2-sin4θ]解：原式=(1+sin2θ+cos2θ)(1+sin2θ-cos2θ)·(1+cos2θ+sin2θ)(1+cos2θ-sin2θ)=4(1-cos2θ)(1+cos2θ)=4sin22θ三．（本题满9分）甲，乙二容器内都盛有酒精甲有V1公斤，乙有V2公斤甲中纯酒精与水（重量）之比为m1:n1,乙中纯酒精与水之比为m2:n2问将二者混合后所得液体中纯酒精

2、与水之比是多少？四．（本题满分9分）叙述并且证明勾股定理解：略五．（本题满分14分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域设A及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得∠BAP=α同时在B站测得∠BAP=β问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？PAαβBC解：作PC⊥AB于C，设PC=d，在直角三角形PAC中，AC=d·ctgα在直角三角形PC中，BC=d·ctgβ∴S=AC+BC=d（ctgα+ctgβ）当d≤D，即ctgα+ctgβ≥时，应向外国船发出警告

3、六．（本题满分14分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x<0.1,可用：ln(1+x)≈x，取lg2=0.3,ln10=2.3)解：年增长率x应满足100（1+X)40=500,即（1+X)40=5.取自然对数有40ln(1+x)=ln5.又lg5=1-0.3=0.7ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61利用ln(1+x)≈x,则有x≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%答：每年约增长百分之四CEFABD七．（本题满分18分）设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆

4、的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长线相交于点B求证：证：连接CD因∠CFD=900，所以CD为圆O的直径，又AB切圆O于D，∴CD⊥AB又在直角三角形ABC中，∠ACB=900，∴AC2=AD·AB，BC2=BD·BA又因BD2=BC·BF，AD2=AC·AE由（1）与（2）得八．（本题满分14分）过原点O作圆x2+y2-2x-4y+4=0的任意割线交圆于P1，P2两点求P1P2的中点P的轨迹YP2PP1αOX解：设割线OP1P2的直线方程为y=kx代入圆的方程，得：x2+k2x2-2x-4kx+4=0即(1+k2)x2-2(1+2k)x+4=0设两根为x1，x2即

5、直线与圆的两交点的横坐标;由韦达定理得：又设P点的坐标是（x,y)P是P1P2的中点，所以又P点在直线y=kx上，