史上最全的数列通项公式的求法13种

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1、最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项)例2．①已知数列的前项和满足．求数列的通项公式.②已知数列的前项和满足，求数列的通项公式.③已知等比数列的首项，公比，设数

2、列的通项为，求数列的通项公式。③解析：由题意，，又是等比数列，公比为∴，故数列是等比数列，，∴三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。四、累加（乘）法对于形如型或形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。例4.若在数列中，，，求通项。例5.在数列中，，（），求通项。五、取倒（对）数法a、这种类型一般是等式两边取

3、对数后转化为，再利用待定系数法求解b、数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出c、解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例6.．设数列满足求例7设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，，设，则是以2为公比的等比数列，.，，，∴变式:1.已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝求数列｛an｝的通项公式；2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。3、已知数列{}满足时，，求通项公式。4、已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。5、若数列｛a｝中，a=1，a=n∈N

4、，求通项a．六、迭代法迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.七、待定系数法：1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。一般地，形如a=pa+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}。例9、数列{a}满足a=1，a=a+1（n≥2），求数列{a}的通项公式。说明：通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{a－2}，从而达到解决问题的目的。练习、1数列{a}满足a=1，,求数列{a}

5、的通项公式。2、已知数列满足，且，求．2、递推式为（p、q为常数）时，可同除，得，令从而化归为（p、q为常数）型．、例10．已知数列满足，，求．解：将两边同除，得设，则．令．条件可化成，数列是以为首项，为公比的等比数列．．因,．3、形如解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例11:设数列：，求.解：令化简得：所以解得，所以又因为，所以数列是以5为首项，3为公比的等比数列。从而可得4、形如解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知

6、递推式比较，解出,z.从而转化为是公比为的等比数列。例12:设数列：，求.八：不动点法，形如解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。例15：已知数列满足性质：对于且求的通项公式.九：换元法：类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。例16已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则故，代入得即因为，故则，即，可化为，所以是以为

7、首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例18.已知数列满足，，求。解析：设，∵，∴，，…，总之，求数列的通项公式，就是将已知数列转化成等差（或等比）数列，从而利用等差（或等比）数列的通项公式求其通项。十、双数列解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例19.已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.解：因所以即…………………………………

8、………（1）又因为所以…….即………………………（2）由（1）、（2）得：，十一、周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例20：若数列满足，若，则的值为___________。变式:（2005，湖南,文，5）已知数列满足，则=（）A．0B．C．D．十二、分解因式法当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得an.例21.已知数列满足（n∈），且有条件≥