史上最全的数列通项公式的求法15种

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1、最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。◆一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。例1.根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式：1、1.3.7.15.31………2、1,2,5,8,12………3、………4、1,-1,1,-1………5、1、0、1、0………◆二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用

2、公式求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项)例2．①已知数列的前项和满足．求数列的通项公式.②已知数列的前项和满足，求数列的通项公式.③已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。③解析：由题意，，又是等比数列，公比为∴，故数列是等比数列，，∴◆三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。例3.（2002年北京春季高考）已知点的序列，其中，，是线段的中点，是线段的中点，…，是线段的中

3、点，…（1）写出与之间的关系式（）。最全的数列通项公式的求法-12-（1）设，计算，由此推测的通项公式，并加以证明。（2）略解析：（1）∵是线段的中点，∴（2），=，=，猜想，下面用数学归纳法证明当n=1时，显然成立；假设n=k时命题成立，即则n=k+1时，==∴当n=k+1时命题也成立，∴命题对任意都成立。变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式◆四、累加（乘）法对

4、于形如型或形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。例4.若在数列中，，，求通项。解析：由得，所以，，…，，将以上各式相加得：，又最全的数列通项公式的求法-12-所以=例5.在数列中，，（），求通项。解析：由已知，，，…，，又，所以=…=…=◆五、取倒（对）数法a、这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解b、数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出c、解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例6.．设数列满足求解：原条

5、件变形为两边同乘以得.∵∴例7、设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，，设，则是以2为公比的等比数列，.，，，∴变式:1.已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1·a2·……an<2·n！2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。最全的数列通项公式的求法-12-3、已知数列{}满足时，，求通项公式。4、已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。5、若数列｛a｝中，a=1，a=n∈N，求通项a．◆六、迭代法迭代法

6、就是根据递推式，采用循环代入计算.例8、（2003·高考·广东）设a0为常数，且an＝3n-1－2an-1（n为正整数）证明对任意n≥1，     an＝[3n＋（－1）n-1· 2n]＋（－1）n·2na0 证明：       an＝3n-1－2an-1＝3n-1－2（3n-2－2an-2）         ＝3n-1－2· 3n-2＋22（3n-3－2an-3）         ＝3n-1－2 ·3n-2＋22·3n-3－23（3n-4－2an-4）              ………      ………        

7、 ＝3n-1－2·3n-2＋22·3n–3－…＋（－1）n-1·2n-1＋（－1）n·2na0（－1）n·2na0前面的n项组成首项为3n-1，公比为－的等比数列，这n项的和为：＝[3n＋（－1）n-1·2n] ∴an＝[3n＋（－1）n-1· 2n]＋（－1）n·2na0◆七、待定系数法：求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，运用待定系数法变换递推式中的常数就是一

8、种重要的转化方法。1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。一般地，形如a=pa+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}。例9、数列{a}满足a=1，a=a+1（n≥2），求数列{a}的通项