2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用练习 新人教A版选修2-1

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1、2.2.2第2课时椭圆方程及性质的应用[A　基础达标]1．点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是　　(　　)A．－C．－2

2、PF2

3、为(　　)A．B．C．D．4解析：选C．因为

4、PF1

5、＋

6、PF2

7、＝4，

8、PF1

9、＝＝，所以

10、PF2

11、＝4－＝．3．已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴

12、长为(　　)A．3B．2C．2D．4解析：选C．设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋16b2－a2b2＝0，由Δ＝0及c＝2，可得a2＝7，所以2a＝2．故选C．4．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则

13、

14、＝(　　)A．B．2C．D．3解析：选A．设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：＋y2＝1，知a2＝2，b2＝1，所以c2＝1，即c＝1．所以右焦点F(1，0)．由＝3，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．所以1＝3(x0－1)且n＝

15、3y0．所以x0＝，y0＝n．将x0，y0代入＋y2＝1，得×()2＋(n)2＝1．解得n2＝1，所以

16、

17、＝＝＝．5．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为(　　)A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1解析：选D．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程，有＋＝1，＋＝1，两式相减得＝－·＝，因为线段AB的中点坐标为(1，－1)，所以＝．因为右焦点为F(3，0)，c＝3，所以a2＝18，b2＝9，所以椭圆E的方程为＋＝1．6．椭

18、圆＋y2＝1被直线x－y＋1＝0所截得的弦长

19、AB

20、＝__________．解析：由得交点为(0，1)，，则

21、AB

22、＝＝．答案：7．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为__________．解析：将椭圆与直线方程联立：解得交点A(0，－2)，B．设右焦点为F，则S△OAB＝·

23、OF

24、·

25、y1－y2

26、＝×1×＝．答案：8．已知椭圆的方程为＋＝1(m＞0)．如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为________．解析：焦点在x轴上，由题意知

27、，M．又因为点M在y＝x上，所以＝　，解得m＝2，所以e＝＝＝．答案：9．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)截直线y＝x＋1所得弦的长度为，且离心率为，求这个椭圆的方程．解：因为e＝，所以＝，所以a2＝4b2．代入椭圆方程，得4x2＋y2－4b2＝0．将y＝x＋1代入，得5x2＋2x＋1－4b2＝0．(*)设直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2为方程(*)的两个相异实根，所以Δ＝4－20(1－4b2)＞0，即b2＞．由弦长公式得＝·，解得b2＝，所以a2＝1，所以所求椭圆的方程为＋y2＝1．10．已知椭圆4x

28、2＋y2＝1及直线y＝x＋m．(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解：(1)由得5x2＋2mx＋m2－1＝0．因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤．(2)设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知5x2＋2mx＋m2－1＝0，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)．所以弦长d＝＝＝＝＝，所以当m＝0时，d最大，此时直线方程为y＝x．[B　能力提升]11．(2018·广东肇庆期末)已知动直线y＝k(x＋1

29、)与椭圆C：x2＋3y2＝5相交于A、B两点，点M的坐标为，则·的值是(　　)A．－B．C．－D．解析：选D．将y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5中得(1＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－5＝0，所以Δ＝36k4－4(3k2＋1)(3k2－5)＝48k2＋20＞0，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，所以·＝＝＋y1y2＝＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋k2＝(1＋k2)＋＋＋k2＝＋＋k2＝．故选D．12．F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆，已知圆F2

30、经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e＝__________．解析：易知圆F2的半径为c，又直线MF1恰与圆F2相切，所以∠F1MF2是直角，因为

31、F1F2

32、＝2