2019高考数学一轮复习 不等式选讲 第2课时 不等式的证明与柯西不等式练习 理

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1、第2课时不等式的证明与柯西不等式1.设a,b,c是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是(  )A.(a+3)2<2a2+6a+11B.a2+≥a+C.

2、a-b

3、+≥2D.-<-答案 C解析 (a+3)2-(2a2+6a+11)=-a2-2<0,故A恒成立;在B项中不等式的两侧同时乘以a2,得a4+1≥a3+a⇐(a4-a3)+(1-a)≥0⇐a3(a-1)-(a-1)≥0⇐(a-1)2(a2+a+1)≥0,所以B项中的不等式恒成立;对C项中的不等式,当a>b时,恒成立,当a

4、a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为________.答案 2解析 (am+bn)(bm+an)=abm2+(a2+b2)mn+abn2=ab(m2+n2)+2(a2+b2)≥2abmn+2(a2+b2)=4ab+2(a2+b2)=2(a2+2ab+b2)=2(a+b)2=2(当且仅当m=m=时等号成立).3.(2018·沧州七校联考)若logxy=-2,则x+y的最小值为________.答案 解析 由logxy=-2,得y=.而x+y=x+=++≥3=3=,当且仅当=即x=时取等号.所以x+y的最小

5、值为.4.若a,b,c∈R+,且a+b+c=1,则++的最大值为________.答案 解析 方法一:(++)2=a+b+c+2+2+2≤a+b+c+(a+b)+(b+c)+(c+a)=3.当且仅当a=b=c时取等号成立.方法二:柯西不等式:(++)2=(1×+1×+1×)2≤(12+12+12)(a+b+c)=3.5.已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为________.答案 12解析 由柯西不等式,得(12+12+12)(a2+4b2+9c2)≥(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c2≥12,当a=2b=3c=

6、2时等号成立,所以a2+4b2+9c2的最小值为12.6.(2018·江苏南通联考)已知x>0,y>0,a∈R,b∈R.求证:()2≤.答案 略证明 因为x>0,y>0,所以x+y>0.所以要证()2≤,即证(ax+by)2≤(x+y)(a2x+b2y),即证xy(a2-2ab+b2)≥0,即证(a-b)2≥0,而(a-b)2≥0显然成立.故()2≤.7.(2014·江苏)已知x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.答案 略证明 因为x>0,y>0,所以1+x+y2≥3>0,1+x2+y≥3>0.故(1+x+y2)(1+x2+y)

7、≥3·3=9xy.8.(2018·福建质量检查)若a,b,c∈R+,且满足a+b+c=2.(1)求abc的最大值;(2)证明:++≥.答案 (1) (2)略解析 (1)因为a,b,c∈R+,所以2=a+b+c≥3,故abc≤.当且仅当a=b=c=时等号成立.所以abc的最大值为.(2)证明:因为a,b,c∈R+,且a+b+c=2,所以根据柯西不等式,可得++=(a+b+c)·(++)=[()2+()2+()2]×[()2+()2+()2]≥(×+×+×)2=.所以++≥.9.(2016·课标全国Ⅱ,理)已知函数f(x)=

8、x-

9、+

10、x+

11、,M为不等式f(

12、x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,

13、a+b

14、<

15、1+ab

16、.答案 (1){x

17、-1-1;当-

18、-1

19、a+b

20、<

21、1+ab

22、.10.(2015·湖南理)设a>0,b>0,且a+b=

23、+.证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.答案 (1)略 (2)略解析 由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0

24、x+a-1

25、+

26、x-2a

27、.(1)若f(1)<3,求实数a的取值范围;(2)若a≥1,x∈R,求证:f(x)≥2.答案

28、 (1)(-,) (2)见解析解析 (1)因为f(1)<3,所以

29、a

30、+

31、1-2

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