2019-2020年高二数学12月学科竞赛试题

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1、2019-2020年高二数学12月学科竞赛试题总分：150分时量：120分钟一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在等差数列an中,a1=2,a3+a5=10,则a7=(　　)A.5B.8C.10D.142．不等式(1＋x)(1－x)>0的解集为(　　)A．{x

2、0≤x<1}　　　B．{x

3、x<－1或x>1}C．{x

4、－1

5、－1≤x≤1}3.若不等式ax2＋x＋a＜0的解集为Ø，则实数a的取值范围是(　　)A．{a

6、a≤－或a≥}　　B．{a

7、a＜}C．{a

8、－≤a≤}　　D．{a

9、a≥}4．在△ABC中

10、，已知a＝，b＝2，A＝60°，则B＝(　　)A．45°B．135°C．60°D．45°或135°5．若点B(－1，－6)与C(－3，－2)在直线4x－3y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围是(　　)A．(－6，14)　　　B．(14，＋∞)C．(－∞，－6)∪(14，＋∞)D．(－∞，－6)6.已知在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若三角形有两解，则x的取值范围是()A.x>2B.x<2C.2

11、C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形9.已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为(　　)10.已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的正数都有若数列的前项和为，且满足则为（）A．B．C．D．11.已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于()12.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为(　　)A.2B.3C.6D.8二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上。13．不等式组所表示的平面区域的面

12、积等于________．14．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________．15.设椭圆C:的左右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于　　　　.16.在△ABC中,C=60°,a,b,c分别为角A,B,C的对边,则=　　　　.三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）在△ABC中，三内角A，B，C对边分别为a，b，c，若向量m＝，向量n＝，且m·n＝.(1)求角A的值；(2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．18．（本小题

13、满分12分）已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.19.（本小题满分12分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是多少？20.（本小题满分12分）已知数列{an}满足a1=2,an=2an-1+2(n≥2).(1)证明:数列{an+2}是等比数列

14、,并求数列{an}的通项公式an.(2)若数列{bn}满足bn=log2(an+2),设Tn是数列的前n项和.求证:Tn<.21.（本小题满分12分）设椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程.(2)椭圆C上一动点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围.22.（本小题满分12分）已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.(1)求双曲线C2的方程.(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个

15、不同的交点A和B,且·>2(其中O为原点),求k的取值范围.参考答案1.B2.C3.D4.A5.A6.C7.A8.D9.A10.D11.A12.C13．14．1515.16．117.【解析】(1)由m·n＝，得－cos2＋sin2＝，即cosA＝－.∵A为△ABC的内角，∴A＝π.(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即a2＝(b＋c)2－bc，亦即12＝42－bc，∴bc＝4，∴S△ABC＝b