参数方程讲义

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1、坐标系与参数方程一、知识点梳理(一)平面直角坐标系中的伸缩变化伸缩变换：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。（二）极坐标系与极坐标1定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。2极坐

2、标有四个要素：（1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位及它的方向。3极坐标与直角坐标的不同点是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的。4极坐标与直角坐标互化公式（以坐标原点为极点）（1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，X轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同长度的单位，如图所示：（2）互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是,极坐标是，于是极坐标与直角坐标的互化公式如图一：点M直角坐标极坐标是互化公式（图一

3、）yMxO（图二）5极坐标方程定义：用坐标系中的点与原点的距离以及该点与原点的连线与坐标轴的夹角来表示点的方法。（三）常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径(r,0)x圆心为（r，0），半径为r：x(r,0)O圆心为），半径为rxO过极点，倾斜角为Ox过点与极轴垂直的直线Oxx过点与极轴平行的直线Ox（四）参数方程1参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即　　并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组

4、就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．2常见的参数方程（1）直线的参数方程过定点且倾角为的直线的参数方程为：（t为参数，其他都是已知量）（2）曲线的参数方程圆：中心在，半径等于r的圆的参数方程为（为参数）椭圆：中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆（a>b>0)或的参数方程分别为：　　　　　或（为参数）（五）参数方程、极坐标方程、直角坐标方程相互转化1直线：直角坐标方程—极坐标方程—参数方程直线的直角坐标方程转化为极坐标方程，只需把横纵坐标的位置转化为极坐标即令；将

5、参数方程转化为直角坐标方程，先移项变成点斜式，进行化简消参求出斜率，那么经过定点就可写出方程；极坐标与参数方程互化时，先将极坐标方程或参数方程转化为直角坐标方程，再相互转化。转化示意图如下：直角坐标方程极坐标方程参数方程带入法化为普通（图三）2圆：直角坐标方程—极坐标方程—参数方程相互转化圆的直角坐标方程转化为极坐标方程，只需把横纵坐标的位置转化为极坐标即令，将极坐标方程转化为直角坐标方程则需在等式两边同时乘以或，由化简得到；将参数方程转化为直角坐标方程，先移项然后等式两边同时平方，进行相加，根据运算

6、消参，那么经过化简就可写出方程；极坐标方程与参数方程互化时，先将极坐标方程或参数方程转化为直角坐标方程，再相互转化。转化示意图如下：直角坐标方程极坐标方程参数方程带入法两边同乘以，化为普通移项，平方，两式子相加图四3、椭圆：直角坐标方程—极坐标方程—参数方程相互转化椭圆的直角坐标方程转化为极坐标方程，只需把横纵坐标的位置转化为极坐标即令，将极坐标方程转化为直角坐标方程则需在等式两边同时乘以或，由化简得到；将参数方程转化为直角坐标方程，先移项然后等式两边同时平方，进行相加运算，根据运算消参，那么经过化简

7、就可写出方程；极坐标方程与参数方程互化时，先将极坐标方程或参数方程转化为直角坐标方程，再相互转化。直角坐标方程极坐标方程参数方程带入法两边同乘化为普通两边平方，两式子相加图五(六)参数方程的几何意义根据直线参数方程的标准式中t的几何意义，有如下结论：1直线与圆锥曲线相交，交点对应参数分别为，则弦长；2定点是弦的中点，则；3设的中点为，则点对应的参数值二、考点突破题型一：参数方程化普通方程、极坐标方程化普通方程对直线、曲线方程进行消参，通过定义及公式进行化简经典例题分析：例1.在直角坐标系中，直线的参数

8、方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．（I）写出的直角坐标方程；(II)写出直线的直角坐标方程【答案】（I）；（II）【解析】（I）由，两边同时乘以得，又因为从而有，所以.（II）由直线参数方程公式可得，过定点（3,0),斜率为，由点斜式化简得到方程为考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为直角坐标方程【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程，解决此类问题的关键是极坐标方程或参数方程转化为