2017_18学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法第1节比较法创新应用教学案

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1、第1节比较法创新应用[核心必知]比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种作差比较法作商比较法定义要证明a>b，只要证明a－b>0要证明ab>0，只要证明＞1要证明b＞a＞0，只要证明>1步骤作差→因式分解(或配方)→判断符号→得出结论作商→恒等变形→判断与1的大小→得出结论[问题思考]1．作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？提示：作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明．实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.2．作商比较法主要适用类型是什么？实质是什么？提示：作商比较法主要适

2、用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明．实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与1的大小关系．11　　　求证：(1)a2＋b2≥2(a－b－1)；(2)若a>b>c，则bc2＋ca2＋ab2

3、(a＋b)＋ab(b－a)＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab)＝(b－a)(c－a)(c－b)，∵a>b>c，∴b－a<0，c－a<0，c－b<0.∴(b－a)(c－a)(c－b)<0.∴bc2＋ca2＋ab2

4、，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．111．(江苏高考)已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.　　　已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.[精讲详析]　本题考查

5、作商比较法的应用，解答本题需要先判断不等式两侧代数式的符号，然后再用作商法比较左右两侧的大小．∵a＞2，∴a－1>1.∴loga(a－1)>0，log(a＋1)a＞0，由于＝loga(a－1)·loga(a＋1)<＝.∵a＞2，∴01⇒a>b是不正确的，这与a、b的符号有关，比如若b>0

6、，由>1，可得a>b，但若b<0，11则由>1得出的反而是a0，b>0，求证：aabb≥(ab).证明：∵aabb>0，(ab)>0，∴＝a·b＝.当a＝b时，显然有＝1.当a>b>0时，>1，>0.当b>a>0时，0<<1，<0.由指数函数的单调性，有>.即>1.综上可知，对任意实数a、b，都有aabb≥(ab).　　　甲、乙二人同时同地沿同一

7、路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？[精讲详析]　本题考查比较法在实际问题中的应用，11解答本题需要设出从出发点到指定地点的路程s，甲、乙二人走完这段路程各自需要的时间t1、t2，然后利用作差法比较t1，t2的大小即可．设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1、t2，依题意有：m＋n＝s，＋＝t2.∴t1＝，t2＝.∴t1－t2＝－＝＝－.其中s，m，n都是正数，且m≠n，∴t1－t2