2017_18学年高中数学第一章坐标系第1节教学案

《2017_18学年高中数学第一章坐标系第1节教学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第1节平面直角坐标系[核心必知]1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用通过直角坐标系，平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐

2、标伸缩变换，简称伸缩变换．[问题思考]1．用坐标法解决几何问题时，坐标系的建立是否是唯一的？提示：对于同一个问题，可建立不同的坐标系解决，但应使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴，以便使计算更简单、方便．2．伸缩变换中的系数λ，μ有什么特点？在伸缩变换下，平面直角坐标系是否发生变化？提示：伸缩变换中的系数λ>0，μ>0，在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，只是对点的坐标进行伸缩变换．11　已知Rt△ABC，

3、AB

4、＝2a(a>0)，求直角顶点C的轨迹方程．[精讲详析]　解答此题需要结合几何图形的结构特点，建立适当的平面直角

5、坐标系，然后设出所求动点的坐标，寻找满足几何关系的等式，化简后即可得到所求的轨迹方程．以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A(－a，0)，B(a，0)，设顶点C(x，y)．法一：由△ABC是直角三角形可知

6、AB

7、2＝

8、AC

9、2＋

10、BC

11、2，即(2a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，化简得x2＋y2＝a2.依题意可知，x≠±a.故所求直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．法二：由△ABC是直角三角形可知AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，则·＝－1(x≠±a)，

12、化简得直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．法三：由△ABC是直角三角形可知

13、OC

14、＝

15、OB

16、，且点C与点B不重合，所以＝a(x≠±a)，化简得直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．(1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→检验．(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．(3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题．111．已

17、知线段AB与CD互相垂直平分于点O，

18、AB

19、＝8，

20、CD

21、＝4，动点M满足

22、MA

23、·

24、MB

25、＝

26、MC

27、·

28、MD

29、，求动点M的轨迹方程．解：以O为原点，分别以直线AB，CD为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(－4，0)，B(4，0)，C(0，2)，D(0，－2)．设M(x，y)为轨迹上任一点，则

30、MA

31、＝，

32、MB

33、＝，

34、MC

35、＝，

36、MD

37、＝，∴由

38、MA

39、·

40、MB

41、＝

42、MC

43、·

44、MD

45、，可得＝.化简，得y2－x2＋6＝0.∴点M的轨迹方程为x2－y2＝6.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　已

46、知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰上的高．求证：BD＝CE.[精讲详析]　本题考查坐标法在几何中的应用．解答本题可通过建立平面直角坐标系，将几何证明问题转化为代数运算问题．如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．设B(－a，0)，C(a，0)，A(0，h)．则直线AC的方程为y＝－x＋h，即：hx＋ay－ah＝0.直线AB的方程为y＝x＋h，11即：hx－ay＋ah＝0.由点到直线的距离公式：

47、BD

48、＝，

49、CE

50、＝，∴

51、BD

52、＝

53、CE

54、，即BD＝CE.(1)建立适当的直角坐标系，将平

55、面几何问题转化为解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基本思想，务必熟练掌握．(2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等．2．已知△ABC中，BD＝CD，求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2)．证明：以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐系xOy，则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)，则D(，)，∴AD2＋BD2＝＋＋＋＝(a2＋b2

56、＋c2)，AB2＋AC2＝a2＋b2＋c2.∴AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2)．11　在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形是什么形状？(1)y2＝2x；(2)x2＋y2＝1.[精讲详析]　本题考查伸缩变换的应用，解答此题需要先根据伸缩变换求出变换后的方程，然后