2017_18学年高中数学第一章坐标系一教学案

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1、一平面直角坐标系　　　　　　　　　　　　1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标、曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换．(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：的

2、作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．　　　　　　　　　　　　用坐标法解决几何问题[例1]　已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰上的高．求证：BD＝CE.[思路点拨]　由于△ABC为等腰三角形，故可以BC为x轴，以BC中点为坐标原点建立直角坐标系，在坐标系中解决问题．[证明]　如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)．则直线AC的方程为9y＝－x＋h，即：hx＋ay－ah＝0.直线AB的方程为y＝x＋h，即：hx－ay＋ah＝0.

3、由点到直线的距离公式：得

4、BD

5、＝，

6、CE

7、＝.∴

8、BD

9、＝

10、CE

11、，即BD＝CE.建立平面直角坐标系的原则根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点，②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴，③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．1．求证等腰梯形对角线相等．已知：等腰梯形ABCD.求证：AC＝BD.证明：取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．设A(－a，h)，B(－b,0)，则D(a，h)，C(b,0)．∴

12、AC

13、＝，

14、BD

15、＝.∴

16、AC

17、＝

18、BD

19、，即等腰梯形ABCD中，AC＝BD.2．已

20、知△ABC中，BD＝CD，求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2)．证明：以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐系xOy，则A(0,0)．设B(a,0)，C(b，c)，9则D(，)，所以AD2＋BD2＝＋＋＋＝(a2＋b2＋c2)，AB2＋AC2＝a2＋b2＋c2＝2(AD2＋BD2).用平面直角坐标系解决实际问题[例2]　如图所示，A，B，C是三个观察站，A在B的正东，两地相距6km，C在B的北偏西30°，两地相距4km，在某一时刻，A观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1km/s,4s后B，C两个观察站同时发现这种信号，在以过A，B两点的直线为x轴

21、，以AB的垂直平分线为y轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的P的坐标．[思路点拨]　由题意可知，点P所在的位置满足两个条件：(1)在线段BC的垂直平分线上；(2)在以A，B为焦点的双曲线上．[解]　设点P的坐标为(x，y)，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)．因为

22、PB

23、＝

24、PC

25、，所以点P在BC的中垂线上．因为kBC＝－，BC的中点D(－4，)，所以直线PD的方程为y－＝(x＋4)．①又因为

26、PB

27、－

28、PA

29、＝4，所以点P必在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为－＝1(x≥2)．②联立①②，解得x＝8或x＝－(舍去)，所以y＝5.所以点P的坐标为

30、(8,5)．运用解析法解决实际问题的步骤9(1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是利于运用已知条件，使表达式简明，运算简便．因此，要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴．(2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程．(3)运算——通过运算，得到所需要的结果．3．已知B村位于A村的正西方向1千米处，原计划经过B村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m，但A村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区．试问：埋设地下管线m的计划需要修改吗？解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A

31、(0,0)，B(－1000,0)，由W位于A的西北方向及

32、AW

33、＝400，得W(－200，200)．由直线m过B点且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线m的方程是x－y＋1000＝0.于是，点W到直线m的距离为＝100×(5－－)≈113.6＞100.所以，埋设地下管线m的计划可以不修改．直角坐标系中的伸缩变换[例3]　求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x2＋y2＝1变成曲线＋＝1.[思路点拨]　设出变换公式，代入方程，比较系数，得出伸缩变换．[解]　设变换为，代入方程＋＝1，9得＋＝1.与x2＋y