2017_18学年高中数学第一章坐标系第2节极坐标系教学案

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1、第2节极坐标系[核心必知]1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)点的极坐标设M是平面内一点，极点O与点M的距离

2、OM

3、叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ．有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．2．极坐标与直角坐标的互化(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正

4、半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．(2)互化公式　[问题思考]1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？提示：不是．在极坐标系中，与给定的极坐标(ρ，θ12)相对应的点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠0)，那么这一点也可以表示为(ρ，θ＋2nπ)或(－ρ，θ＋(2n＋1)π)(其中n∈Z)．2．若ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，点M(ρ，θ)与平面内的点之间是否是一一对应的？提示：如果我们规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．

5、3．若点M的极坐标为(ρ，θ)，则M点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？提示：设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．　已知定点P.(1)将极点移至O′处极轴方向不变，求P点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动角，求P点的新坐标．[精讲详析]　本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然后求相应的点的极坐标．(1)设P点新坐标为(ρ，θ)，如图所

6、示，由题意可知

7、OO′

8、＝2，12

9、OP

10、＝4，∠POx＝，∠O′Ox＝，∴∠POO′＝.在△POO′中，ρ2＝42＋(2)2－2·4·2·cos＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.即

11、O′P

12、＝2.∴

13、OP

14、2＝

15、OO′

16、2＋

17、O′P

18、2，∠OO′P＝.∴∠OPO′＝.∴∠OP′P＝π－－＝.∴∠PP′x＝.∴∠PO′x′＝.∴P点的新坐标为(2，)．(2)如图，设P点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝＋＝.∴P点的新坐标为(4，)．建立极坐标系的要素是(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向．四者缺一不可．极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；

19、极角θ12的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M的极径ρ表示点M与极点O的距离

20、OM

21、，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0.1．边长为a的正六边形的一个顶点为极点，极轴通过它的一边，求正六边形各顶点坐标．解：由点的极坐标的定义可知，正六边形各顶点的极坐标分别为：(0，0)、(a，0)、(a，)、(2a，)、(a，)、(a，π)或(0，0)、(a，0)、(a，－)、(2a，－)、(a，－)、(a，－π)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　若以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角

22、坐标系．(1)已知点A的极坐标，求它的直角坐标；(2)已知点B和点C的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0，0≤θ＜2π)[精讲详析]　本题考查极坐标和直角坐标的互化．解答此题只需将已知条件代入相关公式即可．(1)∵x＝ρcosθ＝4·cos＝2.y＝ρsinθ＝4sin＝－2.∴A点的直角坐标为(2，－2)．(2)∵ρ＝＝＝2，tanθ＝＝－1.且点B位于第四象限内，∴θ＝.12∴点B的极坐标为(2，)．又∵x＝0，y＜0，ρ＝15，∴点C的极坐标为(15，)．(1)将极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x，y)的公式是：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ；(2)将直角坐标

23、(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的公式是：ρ2＝x2＋y2，tanθ＝(x≠0)，在利用此公式时要注意ρ和θ的取值范围．2．(1)把点M的极坐标化成直角坐标；(2)把点P的直角坐标(，－)化成极坐标．(ρ＞0，0≤θ＜2π)解：(1)x＝8cos＝－4，y＝8sin＝4，因此，点M的直角坐标是(－4，4)．(2)ρ＝＝2，tanθ＝＝－，又因为点在第四象限，得θ＝π.因此，点P的极坐标为(2，)．