2017_18学年高中数学第一章坐标系四柱坐标系与球坐标系简介教学案

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1、四柱坐标系与球坐标系简介　　　　　　　　　　　　1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R.(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间

2、的变换公式为2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记

3、OP

4、＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.　(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标

5、(r，φ，θ)之间的变换关系为　　　　　　　　　　　　柱坐标与直角坐标的互相转化[例1]　(1)设点A的直角坐标为(1，，5)，求它的柱坐标．(2)已知点P的柱坐标为，求它的直角坐标．[思路点拨]　直接利用公式求解．[解]　(1)由变换公式8即ρ2＝12＋()2＝4，∴ρ＝2.tanθ＝＝，又x＞0，y＞0，点A在第一象限．∴θ＝，∴点A的柱坐标为.(2)由变换公式得：x＝4cos＝2，y＝4sin＝2，z＝8.∴点P的直角坐标为(2,2，8)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式求ρ，也可利

6、用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tanθ＝求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标.1．已知点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标．解：ρ＝＝＝1.∵x＝0，y＞0，∴θ＝.∴点M的柱坐标为.2．已知点N的柱坐标为，求它的直角坐标．解：由变换公式得x＝2cos＝0，y＝2·sin＝2，故点N的直角坐标为(0,2,3).球坐标与直角坐标的互相转化8[例2]　(1)已知点P的球坐标为求它的直角坐标．(2)已知点M的直角坐标为(－2，－2，－2)，求它的球坐标．[思路点拨]　直接套用坐标变

7、换公式求解．[解]　(1)由变换公式得：x＝rsinφcosθ＝4sincos＝2.y＝rsinφsinθ＝4sinsin＝2.z＝rcosφ＝4cos＝－2.故其直角坐标为(2,2，－2)．(2)由坐标变换公式，可得r＝＝＝4.由rcosφ＝z＝－2，得cosφ＝＝－，φ＝.又tanθ＝＝1，θ＝(M在第三象限)，从而知M点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r，φ，θ)，利用变换公式求出r，φ，θ即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tanθ＝，cosφ＝来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所

8、在的位置.3．求下列各点的直角坐标：(1)M；(2)N.解：(1)由变换公式得：x＝rsinφcosθ＝2sincos＝，8y＝rsinφsinθ＝2sinsin＝，z＝rcosφ＝2cos＝.故其直角坐标是.(2)由变换公式得：x＝rsinφcosθ＝2sincos＝－.y＝rsinφsinθ＝2sinsin＝－.z＝rcosφ＝2cos＝－.故其直角坐标为.4．求下列各点的球坐标：(1)M(1，，2)；(2)N(－1,1，－)．解：(1)由变换公式得：r＝＝＝2.由z＝rcosφ得cosφ＝＝＝.∴φ＝，又tanθ＝＝＝，x＞0，

9、y＞0，∴θ＝，∴它的球坐标为.(2)由变换公式得：r＝＝＝2.由z＝rcosφ得：cosφ＝＝－.∴φ＝.8又tanθ＝＝＝－1.x＜0，y＞0.∴θ＝.∴它的球坐标为.　　　　　　　　　　　　一、选择题1．在球坐标系中，方程r＝2表示空间的(　　)A．球　　　　　　　　　B．球面C．圆D．直线解析：r＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面．答案：B2．点P的柱坐标是，则其直角坐标为(　　)A．(2，2，3)B．(－2，2，3)C．(－2，－2，3)D．(2，－2，3)解析：x＝ρcosθ＝4cos＝－

10、2，y＝ρsinθ＝4sin＝－2，故其直角坐标为(－2，－2，3)．答案：C3．设点M的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为(　　)A.B.C.D.解析：由坐标变换公式，得r＝＝2，cosφ＝＝，∴φ＝.8∵ta