备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展练习：专题18恒成立问题——最值分析法

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1、专题18恒成立问题一一最值分析法【热点聚焦与扩展】不等式恒成立问题常见处理方法：①分离参数a>f{x）恒成立（€7>/（x）niaxnr）或a0或/（x）喚50恒成立；④讨论参数.最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题.此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功.是函数与导数中的难点问题，下面通过典型例题总结此类问题的解法一一最值分析法.1、最

2、值法的特点：（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响一一可能经历分类讨论2、理论基础：设/（兀）的定义域为D（1）若VxeD,均有f（x）C（其中C为常数）,则/（x）inin>C3、技巧与方法：（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：①观察函数/（兀）的零点是否便于猜出（注意

3、边界点的值）②缩小参数与自变量的范围：通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）观察在定义域屮是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如杲所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号.（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.【经典例

4、题】例1.[2018届四川高三(南充三诊)联合诊断】已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+8)上单调递减，若不等式f(-ax+lnx+1)+f(ax-lnx-1)>2f(l)对任意x6[13]恒成立，则实数a的取值范是()A24^3jB.E，e]C.E，+8)D.[2,e]【答案】A【解析】因为定义在R上的偶函数f(x)在(0,+s)上递减，所以f(x)在(-co,0)上单调递增，若不等式f(-ax+lnx+1)+f(ax-lnx-1)>2f(l)对于xe[1,3]上恒成立，则2f(ax-lnx-1)>2f(l)对于xe[1,3]上恒成立，即

5、f(ax-lnx-1)>f(l)对于xe[1,3]上恒成立，所以一1

6、101时，gF(x)>0在[13]±恒成立〉g(x)单调递増,•3因为最小值g(l)=a>0,最大值g(3)=3a-ln3<2,所以03,即0―三时，g'(x)M0在[1,3]上恒成立，g(x)单调递减,呂0因为最大值g(l)=a<2,最小值g(3)=3

7、a-ln3>0,所以—0恒成立，g(x)单调递增，a故函数最小值为g©=1-ln；g(l)=a,g(3)=3a-ln3,g(3)-g(l)=2a-ln3,8SL若2a-ln3>0,即lnV30,则最大值为g(3)=3a-ln3,此吋，由1—ln2n0,g(3)=3a—ln3w2,求得-

8、v^,因为g(3)-g(l)<0,则最大值为g(l)=a,此时、最小值1-吩z0〉最大值^Jg(l)=a<2?求得寸

9、值范围.例2.若关于尢的不等式x3-3x2-9x+2>m,对任意x6[-2,2]恒成立，则m的取值范围是()A.(一8,7]B.(-co,-20]C.