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1、本科毕业设计（论文）题目名称：正交矩阵及其性质学院：数学与统计学院专业年级：数学与应用数学学生姓名:班级学号：指导教师：二O—三年五月二十四日正交矩阵是一种常用的特殊矩阵，在矩阵论中占有重要地位，有着非常好的性质，并具有广泛的应用.本文应用矩阵的行列式，特征值，秩等概念，深入研究了正交矩阵的相关性质，并利用这些性质解决实际问题.关键词：矩阵；止交矩阵；特征值；行列式；秩AbstractOrthogonalmatrixisakindofcommonlyusedmatrixandplaysanimportantroleinma
2、trixtheory.Orthogonalmatrixhasmanygoodproperties.Itiswidelyused.Inthispaper,wedepthstudytherelatedpropertiesoforthogonalmatrixbyapplyingtheconceptsofdeterminant,eigenvalue,rankandsooninmatrix,andusingthesepropertiessolvesomepracticalproblems.Kerword:Matrix;Orthogo
3、nalmatrix;Eigenvalue;Determinant;Rank摘要IAbstractII目录III1•弓I言12.正交矩阵的定义及其性质12.1正交矩阵的定义12.2正交矩阵的性质13.应用举例5致谢7参考文献81.引言矩阵是数学中一个重要的基木概念，是代数学的重要研究对象之一.矩阵是线性代数中的核心内容，而正交矩阵作为一种特殊形式的矩阵，在整个矩阵理论体系中占有重要地位，有着非常好的性质并在各领域的数学方法中有着广泛的应用，对其本身的研究来说是富有创造性的领域.关于正交矩阵的研究，如今已取得了丰富的成果，文献
4、®比较全面的分析了正交矩阵的性质；文献⑹讨论了正交矩阵的特征值与行列式的关系;文献⑺阐述了2阶正交矩阵有哪些类型；文献⑻利用欧式空间的理论得出了正交矩阵的子式的性质；文献⑼应用正交矩阵的若干性质，给出了正交矩阵特征多项式系数的规律；文献叙述了正交矩阵在近世代数中的应用•国内还有许多学者研究了正交矩阵的性质和应用，为矩阵理论的发展做出了重大贡献，对于研究学习高等代数有重大的理论意义.但他们都是从正交矩阵的某个性质出发进行研究，没有系统全面的讨论正交矩阵的性质，所以，在此基础上，本文对正交矩阵进行了较为深入的研究，得到了正交矩
5、阵的一系列常用性质，并对相关性质进行了概扌&改进和推广，又研究了其子式与余子式的关系以及止交矩阵的应用.2.正交矩阵的定义及其性质2.1正交矩阵的定义定义1一个刃阶实矩阵A叫做正交矩阵，如果AAf=AfA=E.注（1）一个斤阶实矩阵A叫做正交矩阵，如果A=A'1.（2）若阶实矩阵A的/个行（列）向量是两两正交的单位向量，则A为正交矩阵.2.2正交矩阵的性质性质设A,B均为正交矩阵，则（1）A=±1.（2）A‘，"，A*,AB都是正交矩阵.性质2⑸设A为正交矩阵，则其特征值的模等于1,且属于A的不同特征值的特征向量互相正交.
6、证设几为A的特征值，歹是A的属于几的特征向量，由茲=g人街=个人）（鸽）=（篙）（街）而故力=1,即兄的模等于1.另设〃是A的属于“的特征向量，由=,Ai]=/LIT/,AA=E,可得夠=£人初=0]（的）=（禽）（初）=（萄（“〃）=旋〃.所以（l_7“）W〃=0,而宀“，从而力=町=1北初，故牙77=0,即歹与77互相正交.性质3⑹设A为正交矩阵，⑴若同=一1,则A—定有特征值一1・（2）若
7、A
8、=1,K/i为奇数，则A—定有特征值1.证（1）由
9、A4-e
10、=
11、a4-a'a
12、=
13、（e+a'）a=（A+E）彳=
14、A+耳
15、
16、彳=■]•A+*,可得2
17、A+E
18、=0,即
19、A+E
20、=O,由特征方程的定义可知，A—定有特征值-1・（2）由
21、A-E
22、=
23、A-AA
24、=（E-A）A=（E-A）A=(-l)n.
25、A-£
26、.
27、^=-
28、A-4,这里n为奇数,可得2
29、A—E
30、=0,即科=0,由特征方程的定义可知，A—定有特征值1.性质4设A是屛介正交矩阵，Q是欧式空间川中的列向量，则
31、
32、也
33、
34、2=阀2・证因为〈也,也〉二（也）（也）=^人晶=a（AA=QQ=〈Q,Q〉，所以慣创2=
35、
36、创2・性质5设A是斤阶正交矩阵，则对任意斤阶正交矩阵B,有Tr（ABA）=Tr（
37、By证A是比阶正交矩阵,由AA=E得=而由引理3⑺知，Tr（PBP-'）=Tr（B）,其中〃为〃阶可逆矩阵，故对任意斤阶矩阵〃，有Tr（ABA）=Tr（B）.性质6（1）设A为对称正交矩阵，则A必为对合矩阵，从而A的特征值只能等于±1.（2）设A为上（下）三角的正交矩阵，则A必为对角矩阵，且主对角线上的
