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1、本科毕业设计(论文)题目名称：正交矩阵及其性质学院：数学与统计学院专业年级：数学与应用数学学生姓名：班级学号：指导教师：二O一三年五月二十四日摘要正交矩阵是一种常用的特殊矩阵,在矩阵论中占有重要地位,有着非常好的性质,并具有广泛的应用.本文应用矩阵的行列式,特征值,秩等概念,深入研究了正交矩阵的相关性质,并利用这些性质解决实际问题.关键词:矩阵;正交矩阵;特征值;行列式;秩IAbstractOrthogonalmatrixisakindofcommonlyusedmatrixandplaysanimportantroleinmatrixt
2、heory.Orthogonalmatrixhasmanygoodproperties.Itiswidelyused.Inthispaper,wedepthstudytherelatedpropertiesoforthogonalmatrixbyapplyingtheconceptsofdeterminant,eigenvalue,rankandsooninmatrix,andusingthesepropertiessolvesomepracticalproblems.Kerword:Matrix;Orthogonalmatrix;Eig
3、envalue;Determinant;RankII目录摘要IAbstractII目录III1.引言12.正交矩阵的定义及其性质12.1正交矩阵的定义12.2正交矩阵的性质13.应用举例5致谢7参考文献8III1.引言矩阵是数学中一个重要的基本概念,是代数学的重要研究对象之一.矩阵是线性代数中的核心内容,而正交矩阵作为一种特殊形式的矩阵,在整个矩阵理论体系中占有重要地位,有着非常好的性质[1-4],并在各领域的数学方法中有着广泛的应用,对其本身的研究来说是富有创造性的领域.关于正交矩阵的研究,如今已取得了丰富的成果,文献[5]比较全面的分
4、析了正交矩阵的性质;文献[6]讨论了正交矩阵的特征值与行列式的关系;文献[7]阐述了2阶正交矩阵有哪些类型;文献[8]利用欧式空间的理论得出了正交矩阵的子式的性质;文献[9]应用正交矩阵的若干性质,给出了正交矩阵特征多项式系数的规律;文献[10]叙述了正交矩阵在近世代数中的应用.国内还有许多学者研究了正交矩阵的性质和应用,为矩阵理论的发展做出了重大贡献,对于研究学习高等代数有重大的理论意义.但他们都是从正交矩阵的某个性质出发进行研究,没有系统全面的讨论正交矩阵的性质,所以,在此基础上,本文对正交矩阵进行了较为深入的研究,得到了正交矩阵的一
5、系列常用性质,并对相关性质进行了概括,改进和推广,又研究了其子式与余子式的关系以及正交矩阵的应用.2.正交矩阵的定义及其性质2.1正交矩阵的定义定义1一个阶实矩阵叫做正交矩阵,如果.注(1)一个阶实矩阵叫做正交矩阵,如果.(2)若阶实矩阵的个行(列)向量是两两正交的单位向量,则为正交矩阵.2.2正交矩阵的性质性质1[1-2]设,均为正交矩阵,则8(1).(2),,,都是正交矩阵.性质2[5]设为正交矩阵,则其特征值的模等于1,且属于的不同特征值的特征向量互相正交.证设为的特征值,是的属于的特征向量,由,而,故,即的模等于1.另设是的属于的
6、特征向量,由,,,可得.所以,而,从而,故,即与互相正交.性质3[6]设为正交矩阵,(1)若,则一定有特征值.(2)若,且为奇数，则一定有特征值1.证(1)由,可得,即,由特征方程的定义可知,一定有特征值.(2)由,这里为奇数,可得8,即,由特征方程的定义可知,一定有特征值1.性质4设是阶正交矩阵,是欧式空间中的列向量,则.证因为,所以.性质5设是阶正交矩阵，则对任意阶正交矩阵，有.证是阶正交矩阵,由得,而由引理3[7]知,,其中为阶可逆矩阵,故对任意阶矩阵,有.性质6(1)设为对称正交矩阵,则必为对合矩阵,从而的特征值只能等于.(2)设
7、为上(下)三角的正交矩阵,则必为对角矩阵,且主对角线上的元素为.证(1)显然成立.(2)不妨设为上三角的正交矩阵,则,所以只能是对角矩阵.从而是对称矩阵,由(1)知,的特征值只能等于,故的主对角线上的元素为.性质7设为非对称的正交矩阵,则的特征值不可能全为实数.证反证若的特征值均为实数,则存在正交矩阵,使得[8],所以合同于对称矩阵,从而为对称阵,矛盾故的特征值不可能全为实数.定义2在一个级行列式中任意选定行列.位于这些行和列的交点上的个元素按照原来的次序组成一个级行列式,称为行列式的一个级子式.当8时,在中划去这行列后余下的元素按照原来
8、的次序组成的级行列式称为级子式的余子式.定义3设的级子式在中所在的行,列指标分别是.则的余子式前面加上符号后称做的代数余子式.性质8[9]设为正交矩阵,(1)若,则的任意子式与其代数余子式相等
