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1、正交矩阵及其应用Theorthogonalmatrixanditsapplicalion专业:数学与应用数学作 者:指导老师:学校二○一摘要正交矩阵是数学研究中的一类重要的工具,它的应用非常广泛.本文从以下主要例举了正交矩阵的三大应用:正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用、正交矩阵在物理中的应用.关键词:矩阵;正交矩阵;标准正交基;集合;特征根;行列式IIAbstractOrthogonalmatrixisthemathematicalstudyofanimportantclassof
2、tools,itiswidelyused.Thisarticlecitesthefollowingmainfourorthogonalmatrixapplications:orthogonalmatrixinlinearalgebra,OrthogonalmatrixtopologyandModemAlgebra,orthogonalmatrixtheapplicationofphysics.Keywords:matrix;orthogonalmatrix;orthonormalbasis;acollectio
3、nofeigenvalues;determinantII目录摘要IAbstractII0引言11正交矩阵的定义及其简单性质11.1正交矩阵的定义及其判定11.2正交矩阵的性质12正交矩阵的应用22.1正交矩阵在线性代数中的应用22.2正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用82.3正交矩阵在物理中的作用11参考文献150引言正交矩阵是一类重要的实方阵,由于它的一些特殊性质,使得它在不同的领域都有着广泛的应用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的定义以及其性质入手,来探讨它的四大应用即:正交矩阵在线性代数中的应用、正
4、交矩阵在拓扑和近世代数中的应用、正交矩阵在物理中的应用.1正交矩阵的定义及其简单性质1.1正交矩阵的的定义及其判定定义1.1[1]阶实矩阵,若满足,则称为正交矩阵.判定1为正交矩阵.判定2为正交矩阵.判定3为正交矩阵.1.2正交矩阵的性质设为正交矩阵,它有如下性质:性质1[5],存在,并且也为正交矩阵;性质2[5],也是正交矩阵;当时,,即;当时.,即.性质3[5]若也是正交矩阵,则都为正交矩阵.证明性质1显然,所以也是正交矩阵.性质2,显然为正交矩阵.第122页,共15页由,当时,,即;当时,,即;所以为正交
5、矩阵.性质3由可知,故为正交矩阵.由性质1,性质2推知均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点,还有例如它的特征值的模为1,且属于不同特征值的特征向量相互正交;如果是它的特征值,那么也是它的特征值,另外正交矩阵可以对角化,即存在复可逆矩阵,使其中为的全部特征值,即.这些性质这里就不再证明了.2正交矩阵的应用2.1正交矩阵在线性代数中的应用在正交矩阵中,有一类初等旋转矩阵,我们也称它为Givens矩阵.这里,我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积,给出化欧空间的一组基为标准正交基的另一种方法.设向量
6、,令,,则称阶矩阵第122页,共15页i列j列为初等旋转矩阵.初等旋转矩阵,是由向量的第两个元素定义的,与单位矩阵只在第行和第列相应的四个元素上有差别.设是由向量定义的初等旋转矩阵,则有如下的性质:<1>是正交矩阵;<2>设,则有;<3>用左乘任一矩阵,只改变的第行和行元素（用右乘任一矩阵,只改变的第列和列元素）.证明<1>,故,是正交矩阵.<2>由得定义知,用左乘向量,只改变的第两个元素,且所以左乘,使的第个分量非负,第个分量为0,其余分量不变.<3>根据<2>及矩阵乘法即可以得出结论.引理2.1.1[7]任
7、何阶实非奇异矩阵,第122页,共15页可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵,且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理2.1.1[7]设是阶正交矩阵<1>若,则可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积,即;<2>若,则可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵,即,其中是初等旋转矩阵.证明由于是阶正交矩阵,根据引理1知存在初等旋转矩阵使这里是阶上三角阵,而且得对角线上的元素除最后一个外都是正的,所以有(2.1)由是正交矩阵和(2.1)式得即(2.2)设其中,,则由上式得第122页,共15页所以(2.3)于是由(2.
8、1)(2.3)式得<1>当时,;<2>当时,.记,是初等旋转矩阵,故定理1结论成立.引理2.1.2[7]设,秩,则可以通过左连乘初等旋转矩阵,把变为的形式,其中是阶上三角阵,是矩阵.证明由引理2知,其中是阶正交矩阵,是阶上三角阵,又根据定理1知:其中是初等旋转矩阵.<1>当时,令<2>当时,于是有显然,是阶上三角阵,当时与除最后一行对应元素绝对值相等、符号相反外,其余元素对应相等.当时
