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《高中数学5.4几个著名的不等式5.4.1柯西不等式知识导航学案苏教版选修4-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、5.4.1柯西不等式自主整理柯西不等式(1)代数形式：设a、b、c、d均为实数，则，当且仅当ad二be时取“二”.⑵向量形式:设a、B为平面上的两个向量，则,当且仅当两个向量方向相同或相反时取“二”.(3)三角形不等式：设X】、门、&、乃、X3、ys为任意实数，则/州一心尸+①一儿)2+J(^2-兀3)'+(丿2-儿)，$■向量表示:设a、B、Y为平面上的向量，则，当且仅当向量a-B与B-Y同向时取“二”.⑷一般形式:设n为大于1的自然数,a：、b(i=l,2,…,n)为任意实数，则.当且仅当久=且=…=如时取“二”(当ai=0时,约定bi=O,i=l,2,…
2、，n).aaian1⑸在n个实数ai,a2,•••,an和为定值S时，它们的平方和不小于一S?,当且仅当aFa2=••-=ann1。时，平方和取最小值一S?・n高手笔记1.柯西不等式可由基本不等式推证，其形式比较整齐、优美.因用到的字母较多，不易记忆，可联想其几何意义(即向量形式)就比较好理解了，由a・P=Ia
3、
4、0
5、cosa<
6、a丨・丨B丨，所以只需记住向量数量积定义即可.2.记忆三角形不等式时只需记住三角形屮两边Z和大于第三边及平面内两点间的距离公式即可写出，注意联想记忆.3.柯西不等式的几种形式
7、'可是等价的，但要注意结构形式的变化对数值的要求，对“二
8、”取到的条件要从推导过程中来理解.名师解惑对柯西不等式的理解剖析:柯西不等式的儿种形式，都涉及对不等式的理解与记忆，因此，柯西不等式可以理解为四个有顺序的数对应的一种不等关系或构造的一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造的(召叭⑴+⑴承出)；但怎样构造要仔细体会,(a2+b2)(c2+d2)2(ac+bd)2,(a2+b2)(d2+c2)>(ad+bc)2,谁与谁组合联系，要根据需要•柯西不等式取的条件，可以多方面联系来记忆，如(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,取“二”的条件是“ad二be”，有点像a、b、c、d成等比数列时ad二be的结论.柯西
9、不等式的向量形式中，a・BWIa丨・丨B丨取“二”的条件是B=0或存在实数k,使a=kP,我们可以从向量的数量积的角度來理解记忆.讲练互动【例1】设q,b,c,d,m,n都是正实数,P二J亦+y[cd,Q=^ma-^ncA—+—,试确定P与QVmn的大小.分析:从结构上观察，被开方数为(ma+nc)(-+-),可用柯西不等式.mn解：Tin、n>a、b、d为正数,(ma+nc)(―+—)mn=[(Vm^)2+()2]•[(-)2]n•J—时取J”Vmx、y恒成立，等价于1=[(仮)2+(")2][(Q)2]y即QMP,当且仅当J巫•A—-4ncVn绿色通道解答
10、问题吋注意观察式子的结构是否符合柯西不等式的形式，并构造不等式.变式训练1.已知不等式(x+y)(-+-)^9对于任意正实数x、y恒成立，求正实数a的最小值.解:设z二(x+y)(1+-),不等式(x+y)(-+-)^9对于任意的正实数Zmin29,Tx、y、aWR；.z=(x+y)(―+—)尢y•
11、)2二(l+Q.Zmin二(1+)1・・・1+肠&3,即a>4.Aa的最小值为4.【例2]已知a、bGR,求证：(a4+b4)(a2+b2)2(a3+b3)2.分析:虽然可以作乘法展开上式的两边，然后再比较它们,但是如果注意到不等式的两边形式与柯西不等式的一致性
12、，可以避免繁杂的运算.证明:根据柯西不等式有(a4+b4)(a2+b2)N(a2・a+b2•b)2=(a3+b3)2.绿色通道在证明不等式时，耍观察不等式的结构，若联系经典不等式，既可以启发证明思路，又对以简化运算.变式训练1.已知a>bER,求证：(a4+b4)(a2+b2)^a2b2(a+b)2.证明:由柯西不等式，得(a*+b')(a2+b?)=(a1+b')(b2+a2)M(a2b+b2a)2-［ab(a+b)J2=a2b2(a+b)2.【例3】求函数y=477^2+375^7的最大值.分析：利用不等式求函数的最值，通常设法在不等式一边得到一个常数，并
13、寻找不等式取“二”的条件.这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就可利用柯西不等式进行平方合并求最值.解：函数的定义域为［2,5］且y>0.寸二(4厶-2+3j5-x)<(42+32)［(Vx-2)2+(』5_x)辽二25X3,・・・yW5語，当且仅当4尽二二3弟匚i时等号成立，即x二空时収“二”貯取最大值5巧.25绿色通道学会观察函数的结构，并构造不等式,注意柯西不等式的等号成立的条件，弄清谁是a.b>c>d.变式训练2.求函数y二Jx_l+a/10-x的最大值.解法一：函数的定义域为［1,10］，且y>0,y=lXQx_+1X-jO—
14、xWJr+1~X+(J1O-匚)~—X
