高中数学 5.4 几个著名的不等式 5.4.1 柯西不等式自我小测 苏教版选修4-5

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1、5.4.1柯西不等式自我小测1函数y＝＋2的最大值是________．2设a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b的最大值为________．3设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是________．4已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是________．5n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是________．6若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值，并求最小值点．7设a1＞a2＞…＞an

2、＞an＋1，求证：(a1－an＋1)≥n2.8设a＝(－2,1,2)，

3、b

4、＝6，则a·b的最小值为________，此时b＝________.9设x，y，z∈R,2x＋2y＋z＋8＝0，则(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2的最小值为________．10已知θ为锐角，a，b∈R＋，求证：(a＋b)2≤＋.11已知函数f(x)＝(x－a)2＋(x－b)2＋(x－c)2＋(a，b，c∈R)的最小值为m，若a－b＋2c＝3，求m的最小值．参考答案1．　解析：根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝.当且仅当

5、＝2.即x＝时等号成立．2．4　解析：∵a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，∴a·b＝x－2z.由柯西不等式，得[12＋02＋(－2)2](x2＋y2＋z2)≥(x＋0－2z)2.当且仅当存在实数k＝±，使b＝ka时等号成立．∴5×16≥(x－2z)2.∴

6、x－2z

7、≤4.∴－4≤x－2z≤4，即－4≤a·b≤4.∴a·b的最大值为4.3．　解析：由柯西不等式得[()2＋()2＋()2](12＋12＋12)≥(＋＋)2，∴(＋＋)2≤3×1＝3.当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．∴＋＋的最大值为.4．1

8、　解析：(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1.当且仅当存在一个数k，使ai＝kxi(i＝1,2，…，n)时等号成立．∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.5．n2　解析：设n个正数为x1，x2，…，xn，由柯西不等式，得(x1＋x2＋…＋xn)≥(×＋×＋…＋×)2＝(1＋1＋…＋1)2＝n2.当且仅当存在实数k，使得xi＝k·(i＝1,2，…，n)时等号成立．6．解：由柯西不等式，有(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1.∴4x

9、2＋9y2≥.当且仅当2x＝3y时取等号．由得于是4x2＋9y2的最小值为，最小值点为(，)．7．证明：∵a1＞a2＞…＞an＞an＋1，∴a1－a2＞0，a2－a3＞0，…，an－an＋1＞0，根据柯西不等式有：(a1－a2＋a2－a3＋…＋an－an＋1)·≥2＝n2.∴原不等式成立．8．－18　(4，－2，－4)　解析：根据柯西不等式的向量形式，有

10、a·b

11、≤

12、a

13、·

14、b

15、.∴

16、a·b

17、≤18.当且仅当存在实数k，使a＝kb时，等号成立．∴－18≤a·b≤18.∴a·b的最小值为－18.此时b＝－2a

18、＝(4，－2，－4)．9．9　解析：2x＋2y＋z＋8＝0⇒2(x－1)＋2(y＋2)＋(z－3)＝－9.考虑以下两组向量：u＝(2,2,1)，v＝(x－1，y＋2，z－3)，由柯西不等式，得(u·v)2≤

19、v

20、2·

21、u

22、2；即[2(x－1)＋2(y＋2)＋(z－3)]2≤[(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2]·(22＋22＋12)．当且仅当x＝－1，y＝－4，z＝2时等号成立．所以(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥＝9.10．证明：设m＝，n＝(cosθ，sinθ)．则

23、a＋b

24、＝＝

25、m·n

26、

27、≤

28、m

29、

30、n

31、＝·＝，∴(a＋b)2≤＋.11．解：因为f(x)＝(x－a)2＋(x－b)2＋(x－c)2＋＝3x2－2(a＋b＋c)x＋a2＋b2＋c2＋＝32＋a2＋b2＋c2.所以x＝时，f(x)取最小值a2＋b2＋c2，即m＝a2＋b2＋c2.因为a－b＋2c＝3.由柯西不等式，得[12＋(－1)2＋22]·(a2＋b2＋c2)≥(a－b＋2c)2＝9，所以m＝a2＋b2＋c2≥＝，当且仅当＝＝，即a＝，b＝－，c＝1时等号成立．所以m的最小值为.