2020版高考数学复习第五章平面向量与复数5.3平面向量的数量积教案文（含解析）新人教A版

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1、§5.3　平面向量的数量积最新考纲考情考向分析1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的垂直关系．一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.1．两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB称

2、作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉．(2)范围向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉．(3)向量垂直如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b.2．向量在轴上的正射影已知向量a和轴l(如图)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量．＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝

3、a

4、cosθ.3．向量的数量积(1)向量的数量积(

5、内积)的定义

6、a

7、

8、b

9、cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝

10、a

11、

12、b

13、cos〈a，b〉．(2)向量数量积的性质①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝

14、a

15、cos〈a，e〉；②a⊥b⇔a·b＝0；③a·a＝

16、a

17、2，

18、a

19、＝；④cos〈a，b〉＝(

20、a

21、

22、b

23、≠0)；⑤

24、a·b

25、≤

26、a

27、

28、b

29、.(3)向量数量积的运算律①交换律：a·b＝b·a.②对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(4)向量数量积的坐标运算与度量公式设a＝(a1，a2)，b＝(b1

30、，b2)，则①a·b＝a1b1＋a2b2；②a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0；③

31、a

32、＝；④cos〈a，b〉＝.概念方法微思考1．a在b方向上的正投影与b在a方向上的正投影相同吗？提示　不相同．因为a在b方向上的正投影为

33、a

34、cosθ，而b在a方向上的正投影为

35、b

36、cosθ，其中θ为a与b的夹角．2．两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示　不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的正投影为数量，而不是向量．(　√　)(2)两个向量的数量

37、积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　)(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　×　)(5)两个向量的夹角的范围是.(　×　)(6)若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　×　)题组二　教材改编2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.答案　12解析　∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.3．已知

38、a

39、＝5，

40、b

41、＝

42、4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的正投影为________．答案　－2解析　由数量积的定义知，b在a方向上的正投影为

43、b

44、cosθ＝4×cos120°＝－2.题组三　易错自纠4．已知向量a，b的夹角为60°，

45、a

46、＝2，

47、b

48、＝1，则

49、a＋2b

50、＝________.答案　2解析　方法一　

51、a＋2b

52、＝＝＝＝＝2.方法二　(数形结合法)由

53、a

54、＝

55、2b

56、＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则

57、a＋2b

58、＝

59、

60、.又∠AOB＝60°，所以

61、a＋2b

62、＝2.5．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2

63、，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的正投影为________．答案　解析　＝(2,1)，＝(5,5)，由定义知，在方向上的正投影为＝＝.6．已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________.答案　－解析　∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，

64、a

65、＝

66、b

67、＝

68、c

69、＝1，∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－，∴a·b＋b·c＋a·c＝－.题型一　平面向量数量积的基本运算1．已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于(　　)A．8B．10C．11D．1

70、2答案　D解析　∵a＝(x,1)，b＝(－2,4)，∴a＋b＝(x－2,5)，又(a＋b)⊥b，∴(x－2)×(－2)＋20＝0，∴x＝12.2．(2018·全国Ⅱ)已知向量a，